From 87006f8e581d583af336f26af5ba2b6f23b64c1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: maxwell Date: Thu, 16 Oct 2025 10:07:35 +0800 Subject: [PATCH] add --- dengshi.md | 792 +++++++++++++++++++ hanshu.md | 1491 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ jihe.md | 1287 +++++++++++++++++++++++++++++++ math_knowledge_points.json | 238 ++++++ prompt_knowledge.md | 38 + prompt_method.md | 33 + 6 files changed, 3879 insertions(+) create mode 100644 dengshi.md create mode 100644 hanshu.md create mode 100644 jihe.md create mode 100644 math_knowledge_points.json create mode 100644 prompt_knowledge.md create mode 100644 prompt_method.md diff --git a/dengshi.md b/dengshi.md new file mode 100644 index 0000000..5373a11 --- /dev/null +++ b/dengshi.md @@ -0,0 +1,792 @@ + +# 第二章 +## 一元二次函数、方程和不等式 + +相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题。在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程（组）、不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现。 + +本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法。 + +[图片描述: 金黄的油菜花田，前景是广阔的盛开油菜花，中景是几栋带有白色墙壁和深色屋顶的传统民居，远处天空微蓝。||] + + + +# 2.1 等式性质与不等式性质 + +在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 + +**问题1** 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? + +(1) 某路段限速 40 km/h; +(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 $f$ 应不少于 $2.5\%$，蛋白质的含量 $p$ 应不少于 $2.3\%$; +(3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; +(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. + +对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 $v$ km/h，“限速40km/h”就是 $v$ 的大小不能超过40，于是 $0 < v \le 40$. + +对于(2)，由题意，得 +$$ +\begin{cases} +f \ge 2.5\%, \\ +p \ge 2.3\%. +\end{cases} +$$ + +对于(3)，设 $\triangle ABC$ 的三条边为 $a, b, c$，则 $a+b>c, a-b **?** +> **①你能写出其他的可能情况吗?** + +对于(4)，如图2.1-1，设 $C$ 是直线 $AB$ 外的任意一点，$CD$ 垂直于 $AB$，垂足为 $D$， $E$ 是直线 $AB$ 上不同于 $D$ 的任意一点，则 $CD + + +不低于20万元? + +设提价后每本杂志的定价为 $x$ 元,则销售总收入为 $(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x$ 万元.于是, +不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 +$$(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x \ge 20 \quad \text{①}$$ +求出不等式①的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围. + +如何解不等式①呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质,为此,我们需要先研究不等式的性质. +实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质,那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. +由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图2.1-2,设 $a,b$ 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 $A,B$.那么,当点 $A$ 在点 $B$ 的左边时, $ab$. + +[图片描述:一条数轴,左侧A点对应a,右侧B点对应b,下方标注ab|数轴上实数大小的表示|图2.1-2] + +关于实数 $a,b$ 大小的比较,有以下基本事实: +如果**$a-b$ 是正数**,那么**$a>b$**;如果**$a-b$ 等于0**,那么**$a=b$**;如果**$a-b$ 是负数**,那么**$ab \Leftrightarrow a-b>0;$$ +$$a=b \Leftrightarrow a-b=0;$$ +$$a0,$$ + +
+ 0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”. +
+ +38 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + + +所以 +$$(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).$$ +这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于 $0$ 的数（式）。这是解决不等式问题的常用方法。 + +## 探究 +图 2.1-3 是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ + +[图片描述:这是一个以红色系渐变色块组成的风车状图案，由四个旋转的正方形组成，中间有一个白色的小正方形|国际数学家大会会标|图2.1-3] + +将图 2.1-3 中的“风车”抽象成图 2.1-4。在正方形 $ABCD$ 中有 $4$ 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为 $a$，$b$（$a \neq b$），那么正方形的边长为 $\sqrt{a^2+b^2}$。这样，$4$ 个直角三角形的面积和为 $2ab$，正方形的面积为 $a^2+b^2$。由于正方形 $ABCD$ 的面积大于 $4$ 个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 +$$a^2+b^2>2ab.$$ + +[图片描述:一个正方形ABCD，其四个角被四个全等的直角三角形截去，中间形成一个较小的正方形EFGH。直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}$|风车图案的几何抽象|图2.1-4] + +当直角三角形变为等腰直角三角形，即 $a=b$ 时，正方形 $EFGH$ 缩为一个点，这时有 +$$a^2+b^2=2ab.$$ +于是就有 $a^2+b^2 \ge 2ab$。 + +一般地，$\forall a, b \in \mathbf{R}$，有 +$$a^2+b^2 \ge 2ab,$$ +当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 + +事实上，利用完全平方公式，得 +$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$$ +因为 $\forall a,b \in \mathbf{R}$，$(a-b)^2 \ge 0$，当且仅当 $a=b$ 时，等号成立，所以 $a^2+b^2-2ab \ge 0$。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 $a^2+b^2 \ge 2ab$，当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 39 + + + +## 练习 + +1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系: + (1) 某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ (单位: m) 从地面算起不能超过 $4\text{ m}$; + (2) $a$ 与 $b$ 的和是非负实数; + (3) 如图, 在一个面积小于 $350\text{ m}^2$ 的矩形场地的中心位置上建造一个仓库, 仓库的四周建成绿地, 仓库的长 $L$ (单位: m) 大于宽 $W$ (单位: m) 的 $4$ 倍. + [图片描述: 一个矩形场地，中央有一个矩形表示“仓库”，其四周环绕着“绿地”。图中左侧标有“-5”，底部标有“5”，可能表示尺寸或坐标参考。|仓库及绿地布局示意图|图1(3)] + +2. 比较 $(x+3)(x+7)$ 和 $(x+4)(x+6)$ 的大小. + +3. 已知 $a>b$, 证明 $a > \frac{a+b}{2} > b$. + +关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础,那么,不等式到底有哪些性质呢? + +因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. + +> ### ③ 思考 +> 请你先梳理等式的基本性质,再观察它们的共性,你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗? + +等式有下面的基本性质: +性质 1 如果 $a=b$, 那么 $b=a$; +性质 2 如果 $a=b, b=c$, 那么 $a=c$; +性质 3 如果 $a=b$, 那么 $a \pm c = b \pm c$; +性质 4 如果 $a=b$, 那么 $ac = bc$; +性质 5 如果 $a=b, c \neq 0$, 那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$. + +可以发现,性质1,2反映了相等关系自身的特性,性质3,4,5是从运算的角度提出的,反映了等式在运算中保持的不变性. + +> 运算中的不变性就是性质. + +> ### 探究 +> 类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质,并加以证明吗? + +40 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +类比等式的性质1,2,可以猜想不等式有如下性质: +**性质1** 如果$a>b$，那么$bb$. 即 +$$a>b \Leftrightarrow bb, b>c$，那么$a>c$. 即 +$$a>b, b>c \Rightarrow a>c.$$ +我们来证明性质2: +由两个实数大小关系的基本事实知 +$$ +\begin{cases} +a>b \Rightarrow a-b>0 \\ +b>c \Rightarrow b-c>0 +\end{cases} +$$ +$$\Rightarrow (a-b)+(b-c)>0$$ +$$\Rightarrow a-c>0 \Rightarrow a>c.$$ + +类比等式的性质3~5,可以猜想不等式还有如下性质: +**性质3** 如果$a>b$，那么$a+c>b+c$. +这就是说,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向. + +如图2.1-5,把数轴上的两个点$A$与$B$同时沿相同方向移动相等的距离,得到另两个点 $A_1$与$B_1$, $A$与$B$和$A_1$与$B_1$的左右位置关系不会改变. 用不等式的语言表示,就是上述性质 3. + +> 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解。对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？ + +[图片描述:两条数轴，分别展示了点$A$和$B$以及它们同时平移$c$距离后变为$A_1$和$B_1$的相对位置关系。第一条数轴从左到右依次为$B(b), B_1(b+c), A(a), A_1(a+c)$，箭头指向右，表示向右平移。第二条数轴从左到右依次为$B_1(b+c), B(b), A_1(a+c), A(a)$，箭头指向左，表示向左平移（即$c$为负值）。这两条数轴都说明了平移后点的相对位置关系不变。|不等式性质3的数轴表示|图2.1-5] + +由性质3可得, +$$a+b>c \Rightarrow a+b+(-b)>c+(-b)$$ +$$\Rightarrow a>c-b.$$ +这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. +**性质4** 如果$a>b, c>0$，那么$ac>bc$；如果$a>b, c<0$，那么$acb, c>d$，那么$a+c>b+d$. +事实上,由$a>b$ 和性质3,得$a+c>b+c$;由$c>d$ 和性质3,得$b+c>b+d$. 再 + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 41 + + + +根据性质2, 即得$a+c>b+d$. +利用性质4和性质2可以推出: +**性质6** 如果$a>b>0, c>d>0$, 那么 $ac>bd$. +**性质7** 如果$a>b>0$, 那么$a^n>b^n$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$). + +实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. + +**例2** 已知 $a>b>0, c<0$, 求证$\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$. + +**分析:** 要证明$\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$, 因为$c<0$, 所以可以先证明$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. 利用已知$a>b>0$ 和性质 4, 即可证明$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. + +**证明:** 因为$a>b>0$, 所以 $ab>0, \frac{1}{ab}>0$. +于是 +$$ +a \cdot \frac{1}{ab} > b \cdot \frac{1}{ab} +$$ +即 +$$ +\frac{1}{b} > \frac{1}{a} +$$ +由$c<0$, 得 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$. + +--- + +## 练习 + +1. 证明不等式性质1, 3, 4, 6. +2. 用不等号“>”或“<”填空: + (1)如果$a>b, cb>0, cb>0$, 那么 $\frac{1}{a^2} \_\_\_\_\_ \frac{1}{b^2}$; + (4)如果$a>b>c>0$, 那么 $\frac{c}{a} \_\_\_\_\_ \frac{c}{b}$. + +--- + +## 习题 2.1 + +### 复习巩固 + +1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子. +2. 某市生态环境局为增加城市的绿地面积, 提出两个投资方案: 方案A为一次性投资500万元; 方 + +42 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元。列出不等式表示“经过$n$年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”。 + +3. 比较下列各组中两个代数式的大小: + (1) $x^2+5x+6$ 与 $2x^2+5x+9$; + (2) $(x-3)^2$ 与 $(x-2)(x-4)$; + (3) 当 $x>1$ 时，$x^2$ 与 $x^2-x+1$; + (4) $x^2+y^2+1$ 与 $2(x+y-1)$. + +4. 一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大 2。试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数 (用 $a$ 和 $b$ 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)。 + +5. 已知 $2b>0$, $c \frac{e}{b-d}$. + +8. 下列命题为真命题的是 ( ). + (A) 若 $a>b>0$, 则 $ac^2>bc^2$ + (B) 若 $a>b>0$, 则 $a^2>b^2$ + (C) 若 $aa>0$)，再添加 $m$ 克糖 ($m>0$) (假设全部溶解)，糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立。 + +### 拓广探索 + +11. 已知 $a>b>0$，求证 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$. + +12. 火车站有某公司待运的甲种货物1530 t，乙种货物1150 t。现计划用A, B两种型号的货厢共50节运送这批货物。已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢。据此安排A, B两种货厢的节数，共有几种方案? 若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少? + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 43 + + + +## 2.2 基本不等式 + +我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。 + +前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： +$\forall a, b \in \mathbf{R}$，有 +$$a^2+b^2 \ge 2ab$$ +当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 + +特别地，如果 $a>0, b>0$，我们用 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ 分别代替上式中的 $a, b$，可得 +$$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \quad (1)$$ +当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 + +通常称不等式 (1) 为**基本不等式** (basic inequality)，其中，$\frac{a+b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数。 + +基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 +上面通过考察 $a^2+b^2 \ge 2ab$ 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。 + +要证 +$$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \quad \text{①}$$ +只要证 +$$2\sqrt{ab} \le a+b \quad \text{②}$$ +要证②，只要证 +$$2\sqrt{ab} - a - b \le 0 \quad \text{③}$$ +要证③，只要证 +$$-(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \le 0 \quad \text{④}$$ +要证④，只要证 +$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 \quad \text{⑤}$$ +显然，⑤成立，当且仅当 $a=b$ 时，⑤中的等号成立。 + +44 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +只要把上述过程倒过来,就能直接推出基本不等式了. + +## 探究 + +在图 2.2-1中,$AB$是圆的直径,点$C$是$AB$上一点,$AC=a, BC=b$. 过点$C$作垂直于$AB$的弦$DE$,连接$AD, BD$.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? + +[图片描述:一个圆，直径为AB。点C在AB上。弦DE垂直于AB，穿过C点。连接了AD和BD。图中标记了点D、E、A、B、C，以及线段AC长度为a，BC长度为b。|几何解释图|图2.2-1] + +如图2.2-1,可证$\triangle ACD \sim \triangle DCB$,因而$CD=\sqrt{ab}$. 由于$CD$小于或等于圆的半径,用不等式表示为 + +$$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$$ + +显然,当且仅当点$C$与圆心重合,即当$a=b$时,上述不等式的等号成立. + +**例1** 已知$x>0$,求$x+\frac{1}{x}$的最小值. + +**分析:** 求$x+\frac{1}{x}$的最小值,就是要求一个$y_0 (=x_0+\frac{1}{x_0})$,使$\forall x>0$,都有$x+\frac{1}{x} \ge y_0$. 观察$x+\frac{1}{x}$,发现$x \cdot \frac{1}{x}=1$. 联系基本不等式,可以利用正数 $x$ 和$\frac{1}{x}$的算术平均数与几何平均数的关系得到$y_0=2$. + +**解:** 因为$x>0$,所以 + +$$x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2,$$ + +当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1, x=1$时,等号成立,因此所求的最小值为2. + +在本题的解答中,我们不仅明确了$\forall x \ge 0$,有$x+\frac{1}{x} \ge 2$,而且给出了“当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1, x=1$时,等号成立”,这是为了说明2是$x+\frac{1}{x}(x>0)$的一个取值. 想一想,当$y_0<2$时,$x+\frac{1}{x} \ge y_0$成立吗?这时能说$y_0$是$x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值吗? + +**例2** 已知$x,y$都是正数,求证: + +(1)如果积$xy$ 等于定值$P$,那么当$x=y$时,和$x+y$有最小值$2\sqrt{P}$; + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 45 + + + +(2) 如果和$x+y$ 等于定值$S$,那么当$x=y$时,积$xy$ 有最大值$\frac{1}{4}S^2$. +**证明**: 因为$x, y$ 都是正数,所以 +$$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}. $$ +(1) 当积 $xy$ 等于定值 $P$ 时, +$$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{P}, $$ +所以 +$$ x+y \geq 2\sqrt{P}, $$ +当且仅当 $x=y$ 时,上式等号成立.于是,当 $x=y$ 时,和 $x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$. +所以 +(2) 当和 $x+y$ 等于定值 $S$ 时, +$$ \sqrt{xy} \leq \frac{S}{2}, $$ +$$ xy \leq \frac{1}{4}S^2, $$ +当且仅当 $x=y$ 时,上式等号成立.于是,当 $x=y$ 时,积 $xy$ 有最大值 $\frac{1}{4}S^2$. + +## 练习 + +1. 已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 求证 $ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$. +2. 已知$x,y$都是正数,且$x \neq y$,求证: + (1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$; + (2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$. +3. 当$x$取什么值时,$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值?最小值是多少? +4. 已知$-1 \leq x \leq 1$,求$1-x^2$的最大值. +5. 已知直角三角形的面积等于$50\text{ cm}^2$,当两条直角边的长度各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少? + +基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具. + +**例3** (1)用篱笆围一个面积为$100\text{ m}^2$的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? +(2)用一段长为$36\text{ m}$的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园 + +46 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +的面积最大? 最大面积是多少? +**分析**: (1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积, 于是问题转化为: 矩形的邻边之积为定值, 边长多大时周长最短. +(2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍, 于是问题转化为: 矩形的邻边之和为定值, 边长多大时面积最大. +**解**: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x$ m, $y$ m, 篱笆的长度为 $2(x+y)$ m. +(1) 由已知得 $xy=100$. +由 +$$ +\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}, +$$ +可得 +$$ +x+y \ge 2\sqrt{xy} = 20, +$$ +所以 +$$ +2(x+y) \ge 40, +$$ +当且仅当 $x=y=10$ 时, 上式等号成立. +因此, 当这个矩形菜园是边长为 $10$ m 的正方形时, 所用篱笆最短, 最短篱笆的长度为 $40$ m. +(2) 由已知得 $2(x+y)=36$, 矩形菜园的面积为 $xy$ m$^2$. +由 +$$ +\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2} = \frac{18}{2} = 9, +$$ +可得 +$$ +xy \le 81, +$$ +当且仅当 $x=y=9$ 时, 上式等号成立. +因此, 当这个矩形菜园是边长为 $9$ m 的正方形时, 菜园的面积最大, 最大面积是 $81$ m$^2$. + +**例4** 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为 $4800$ m$^3$, 深为 $3$ m. 如果池底每平方米的造价为 $150$ 元, 池壁每平方米的造价为 $120$ 元, 那么怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? +[图片描述:一个由砖块砌成的长方体无盖水池，内部盛有水。|无盖贮水池示意图|] +**分析**: 贮水池呈长方体形, 它的高是 $3$ m, 池底的边长没有确定. 如果池底的边长确定了, 那么水池的总造价也就确定了. 因此, 应当考察池底的边长取什么值时, 水池的总造价最低. +**解**: 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 $x$ m, $y$ m, 水池的总造价为 $z$ 元. 根据题意, 有 + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 47 + + + +$$ +z = 150 \times \frac{4800}{3} + 120(2 \times 3x + 2 \times 3y) \\ += 240000 + 720(x+y). +$$ +由容积为 $4800\ \text{m}^3$，可得 +$$ +3xy = 4800, +$$ +因此 +$$ +xy = 1600. +$$ +所以 +$$ +z \ge 240000 + 720 \times 2\sqrt{xy}, +$$ +当 $x=y=40$ 时，上式等号成立，此时 $z=297600$. +所以，将贮水池的池底设计成边长为 $40\ \text{m}$ 的正方形时总造价最低，最低总造价是 $297600$元. + +## 练习 + +1. 用 $20\ \text{cm}$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ +2. 用一段长为 $30\ \text{m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 $18\ \text{m}$. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ +3. 做一个体积为 $32\ \text{m}^3$，高为 $2\ \text{m}$ 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ +4. 已知一个矩形的周长为 $36\ \text{cm}$，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ + +## 习题 2.2 +### 复习巩固 + +1. (1) 已知 $x>1$, 求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值; + (2) 求 $\sqrt{x(10-x)}$ 的最大值. +2. (1) 把 $36$ 写成两个正数的积, 当这两个正数取什么值时, 它们的和最小? + (2) 把 $18$ 写成两个正数的和, 当这两个正数取什么值时, 它们的积最大? +3. 某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋, 地面面积为 $48\ \text{m}^2$，房屋正面每平方米的造价为 $1200$元, 房屋侧面每平方米的造价为 $800$元, 屋顶的造价为 $5800$元. 如果墙高为 $3\ \text{m}$, 且不计房屋背面和地面的费用, 那么怎样设计房屋能使总造价最低? 最低总造价是多少? + +48 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + + +### 综合运用 + +4. 已知$x, y, z$都是正数,求证:$(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$. + +5. 已知$x>0$,求证:$2-3x-\frac{4}{x}$的最大值是$2-4\sqrt{3}$. + +6. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费$y_1$(单位:万元)与仓库到车站的距离$x$(单位:km)成反比,每月库存货物费$y_2$(单位:万元)与$x$成正比;若在距离车站10 km 处建仓库,则$y_1$和$y_2$分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? + +### 拓广探索 + +7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,你认为顾客购得的黄金是小于10g,等于10g,还是大于10g?为什么? + +8. 设矩形$ABCD$ ($AB>AD$)的周长为24cm,把$\triangle ABC$沿$AC$向$\triangle ADC$折叠,$AB$折过去后交$DC$于点$P$. 设$AB=x$ cm,求$\triangle ADP$的最大面积及相应$x$的值. + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 49 + + + +## 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 + +在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题。 + +**问题** 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是 24 m，围成的矩形区域的面积要大于 20 m²，则这个矩形的边长为多少米？ + +[图片描述:一个矩形的花坛，里面种满了紫色的花，花坛由白色栅栏围成，背景是绿草地。|花坛示意图|无图号] + +设这个矩形的一条边长为 $x$ m，则另一条边长为 $(12-x)$ m。由题意，得 +$$(12-x)x > 20$$ +其中 $x \in \{x | 0 < x < 12\}$。整理得 +$$x^2 - 12x + 20 < 0, \quad x \in \{x | 0 < x < 12\} \quad \text{①}$$ +求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。 + +一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为**一元二次不等式** (*quadratic inequality with one unknown*)。一元二次不等式的一般形式是 +$$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0$$ +其中 $a, b, c$ 均为常数，$a \neq 0$。 + +--- +❓ **思考** +在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ +--- + +下面，我们先考察一元二次不等式 $x^2 - 12x + 20 < 0$ 与二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 之间的关系。 + +如图 2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 的图象，图象与 $x$ 轴有两个交点。这两个交点的横坐标就是方程 $x^2 - 12x + 20 = 0$ 的两个实数根 $x_1=2, x_2=10$，因此二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点是 $(2,0)$ 和 $(10,0)$。 + +50 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +一般地，对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们把使 $ax^2+bx+c=0$ 的实数 $x$ 叫做二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点，于是，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点是 $x_1=2, x_2=10$。 + +从图2.3-1可以看出，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点 $x_1=2, x_2=10$ 将 $x$ 轴分成三段，相应地，当 $x<2$ 或 $x \ge 10$ 时，函数图象位于 $x$ 轴上方，此时 $y \ge 0$，即 $x^2-12x+20>0$；当 $20(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集。因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 $x$ 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 + +我们知道，对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，设 $\Delta=b^2-4ac$，它的根按照 $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ 可分为三种情况。相应地，二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴的位置关系也分为三种情况，因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集(表2.3-1)。 + +**表2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系** + +| 项目 | $\Delta>0$ | $\Delta=0$ | $\Delta<0$ | +| :----------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | +| $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象 | [图片描述:一个开口向上的抛物线与x轴交于两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta>0$ 的图象|图2.3-1_delta_gt_0] | [图片描述:一个开口向上的抛物线与x轴相切于一点 $x_1=x_2$，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta=0$ 的图象|图2.3-1_delta_eq_0] | [图片描述:一个开口向上的抛物线完全位于x轴上方，与x轴无交点，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta<0$ 的图象|图2.3-1_delta_lt_0] | +| $ax^2+bx+c=0(a>0)$ 的根 | 有两个不相等的实数根 $x_1, x_2 (x_10(a>0)$ 的解集 | $\{x|xx_2\}$ | $\{x|x \ne -\frac{b}{2a}\}$ | $\mathbf{R}$ | +| $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集 | $\{x|x_1 + +**例1** 求不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集. +**分析:** 因为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根是函数 $y=x^2-5x+6$ 的零点, 所以先求出 $x^2-5x+6=0$ 的根, 再根据函数图象得到 $x^2-5x+6>0$ 的解集. +**解:** 对于方程 $x^2-5x+6=0$, 因为 $\Delta > 0$, 所以它有两个实数根, 解得 $x_1=2$, $x_2=3$. +画出二次函数 $y=x^2-5x+6$ 的图象 (图 2.3-2), 结合图象得不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集为 $\{x|x<2 \text{, 或 } x>3\}$. + +[图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，与x轴交于点(2,0)和(3,0)。y轴范围从-1到6，x轴范围从-1到4。|y=x²-5x+6的函数图象|图2.3-2] + +**例2** 求不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集. +**解:** 对于方程 $9x^2-6x+1=0$, 因为 $\Delta=0$, 所以它有两个相等的实数根, 解得 $x_1=x_2=\frac{1}{3}$. +画出二次函数 $y=9x^2-6x+1$ 的图象 (图 2.3-3), 结合图象得不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集为 $\{x|x \neq \frac{1}{3}\}$. + +[图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，与x轴相切于点($\frac{1}{3}$,0)。y轴范围从0到0.6，x轴范围从0到0.6。|y=9x²-6x+1的函数图象|图2.3-3] + +**例3** 求不等式 $-x^2+2x-3>0$ 的解集. +**解:** 不等式可化为 $x^2-2x+3<0$. +因为 $\Delta=-8<0$, 所以方程 $x^2-2x+3=0$ 无实数根. +画出二次函数 $y=x^2-2x+3$ 的图象 (图 2.3-4). + +[图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，完全位于x轴上方，没有与x轴相交。y轴范围从1到10，x轴范围从-2到4。|y=x²-2x+3的函数图象|图2.3-4] + +
+

+ + + 对于二次项系数是负数 (即 $a<0$) 的不等式, 可以先把二次项系数化成正数, 再求解. +

+
+ +结合图象得不等式 $x^2-2x+3<0$ 的解集为 $\emptyset$. +因此, 原不等式的解集为 $\emptyset$. + +现在, 你能解决第 2.1 节的“问题 2”了吗? +利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程, 这里, 我们以求解可化成 $ax^2+bx+c>0 (a>0)$ 形式的不等式为例, 用框图表示其求解过程 (图 2.3-5). + +52 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + + +```mermaid +flowchart TD + A["将原不等式化成 $ax^2+bx+c>0$ ($a>0$) 的形式"] + B["计算 $\Delta=b^2-4ac$ 的值"] + A --> B + B -- "> 0" --> C1["方程 $ax^2+bx+c=0$ 有\n两个不相等的实数根,\n解得 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)"] + B -- "= 0" --> C2["方程 $ax^2+bx+c=0$ 有\n两个相等的实数根,解\n得 $x_1=x_2=-\frac{b}{2}$"] + B -- "< 0" --> C3["方程 $ax^2+bx+c=0$\n没有实数根"] + C1 --> D1["原不等式的解集为\n$\{x|xx_2\}$"] + C2 --> D2["原不等式的解集为\n$\{x|x \neq -\frac{b}{2}\}$"] + C3 --> D3["原不等式的解集为 $\mathbf{R}$"] +``` +图2.3-5 + +## 练习 + +1. 求下列不等式的解集: + (1) $(x+2)(x-3)>0$; + (2) $3x^2-7x \le 10$; + (3) $-x^2+4x-4<0$; + (4) $x^2-x+\frac{1}{4}<0$; + (5) $-2x^2+x \le -3$; + (6) $x^2-3x+4>0$. + +2. 当自变量 $x$ 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? + (1) $y=3x^2-6x+2$; + (2) $y=25-x^2$; + (3) $y=x^2+6x+10$; + (4) $y=-3x^2+12x-12$. + +利用一元二次不等式可以解决一些实际问题,下面看两个例子. + +**例4** 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 $x$ (单位: 辆)与创造的价值 $y$ (单位: 元)之间有如下的关系: +$$y=-20x^2+2200x.$$ +若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? + +**解:** 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 $x$ 辆摩托车,根据题意,得 +$$-20x^2+2200x \ge 60000.$$ +移项整理,得 +$$x^2-110x+3000<0.$$ +对于方程 $x^2-110x+3000=0$, $\Delta=100>0$, 方程有两个实数根 $x_1=50, x_2=60$. + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 53 + + + + +画出二次函数 $y=x^2-110x+3000$ 的图象(图2.3-6)，结合图象得不等式 $x^2-110x+3000<0$ 的解集为 $\{x|50 39.5 $$ + +> **提示框** +> 刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离。 + +移项整理，得 +$$ v^2+9v-7110>0 $$ +对于方程 $v^2+9v-7110=0$，$\Delta>0$，方程有两个实数根 +$$ v_1=\frac{-9-\sqrt{28\,521}}{2}, \quad v_2=\frac{-9+\sqrt{28\,521}}{2} $$ +画出二次函数 $s=v^2+9v-7110$ 的图象 (图2.3-7)，结合图象得不等式的解集为 $\{v|vv_2\}$，从而原不等式的解集为 +$$ \{v|vv_2\} $$ +[图片描述: 坐标系中绘制的二次函数 $s=v^2+9v-7110$ 的图象，是一个开口向上的抛物线，与横轴交于 $v_1$ 和 $v_2$ 两点。纵轴表示 $s$ 值，横轴表示 $v$ 值，原点 $O$ 位于 $v_1$ 和 $v_2$ 之间。|二次函数图象|图2.3-7] + +因为车速 $v \ge 0$，所以 $v>v_2$. 而 $79.9 < v_2 < 80$，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 $80$ km/h. + +类似地，第 $2.1$ 节的不等式①经移项整理，得 $2x^2-13x+20\le 0$. 用上述方法解这个不等式，得 $\{x|2.5\le x\le 4\}$. 所以，当每本杂志的定价不低于 $2.5$ 元且不超过 $4$ 元时，提价后的销售总收入不低于 $20$ 万元。 + +### 练习 + +1. $x$ 是什么实数时，$\sqrt{x^2+x-12}$ 有意义? + +54 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + +2. 如图，在长为 $8 \text{ m}$，宽为 $6 \text{ m}$ 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ +[图片描述:一个绿色的矩形草坪，四周被粉色的花卉带包围，形成一个更大的矩形。|矩形地面的花卉与草坪分布示意图|第2题] + +3. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 $15$ 元。若按最低售价销售，每天能卖出 $30$ 个；若一个削笔器的售价每提高 $1$ 元，日销售量将减少 $2$ 个。为了使这批削笔器每天获得 $400$ 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ + +## 习题 2.3 + +### 复习巩固 + +1. 求下列不等式的解集: + (1) $13-4x^2>0$; + (2) $(x-3)(x-7)<0$; + (3) $x^2-3x-10>0$; + (4) $-3x^2+5x-4>0$. + +2. $x$ 是什么实数时，下列各式有意义? + (1) $\sqrt{x^2-4x+9}$; + (2) $\sqrt{-2x^2+12x-18}$. + +### 综合运用 + +3. 已知 $M=\{x|4x^2-4x-15>0\}$，$N=\{x|x^2-5x-6>0\}$，求 $M \cap N$, $M \cup N$. + +4. 一名同学以初速度 $v_0=12 \text{ m/s}$ 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 $2 \text{ m}$ 以上的位置最多停留多长时间（精确到 $0.01 \text{ s}$）? + + > 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $h$ 与时间 $t$ 满足关系 $h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$，其中 $g\approx 10 \text{ m/s}^2$。 + +5. 已知集合 $A = \{x | x^2 - 16<0\}$，$B=\{x | x^2 - 4x +3>0\}$，求 $A \cup B$. + +### 拓广探索 + +6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 $45^\circ$ 方向 $600 \text{ km}$ 处的热带风暴中心正以 $20 \text{ km/h}$ 的速度向正北方向移动，距风暴中心 $450 \text{ km}$ 以内的地区都将受到影响。据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 $0.1 \text{ h}$）? + [图片描述:一个平面直角坐标系，原点O表示码头。从原点O向右下方45度方向有一条虚线，沿着虚线有一个点表示热带风暴中心。热带风暴中心向上方（正北方向）移动，其路径由一条实线箭头表示。|热带风暴中心移动示意图|第6题] + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 55 + + + +## 小结 + +### 一、本章知识结构 + +```mermaid +graph TD + A[相等关系] --> B[方程] + C[不等关系] --> D[不等式] + E[等式的性质] --> B + F[不等式的性质] --> D + B --> G[一元二次方程] + D --> H[一元二次不等式] + D --> I[基本不等式] + G <--> H + G --> J[二次函数] + H --> J +``` +[图片描述:这是一个展示本章知识结构的流程图，从“相等关系”和“不等关系”出发，分别引出“方程”和“不等式”。“等式的性质”和“不等式的性质”分别与“方程”和“不等式”关联。“方程”引出“一元二次方程”，“不等式”引出“一元二次不等式”和“基本不等式”。“一元二次方程”和“一元二次不等式”之间存在双向联系，并共同引向“二次函数”。|本章知识结构图|图5-6.1] + +### 二、回顾与思考 + +本章我们类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识，与用方程刻画相等关系类似，我们用不等式刻画不等关系，解决不等式问题需要利用不等式的性质，为此，在学习关于实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法。 + +关于实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础。不等式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，获得关于不等式的内容和研究方法的启发，其中，“运算中的不变性就是性质”指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这使我们注意到，在不等式两边同乘一个数(式)时，所乘数(式)的符号对不等号方向的影响；等等。以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式性质；再运用逻辑推理证明不等式性质，这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯。 + +同样地，类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简捷方法。 + +因此，类比是发现的引路人，在今后的学习中我们会经常用到它。 + +请你带着下面的问题，复习一下本章内容吧！ + +56 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + + + +1. 举出一些蕴含不等关系的实际例子,并用不等式描述这些不等关系. +2. 你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗? +3. 在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时,你认为应特别注意哪些问题? +4. 两个正数的大小关系是完全确定的,但通过运算就会产生非常奇妙的变化,基本不等式就是其中之一.你还能通过运算(代数变形)得出基本不等式的一些变式吗?通过对变式的研究,你有什么体会? +5. 用基本不等式解决最大值、最小值问题时,你认为应注意哪些问题? +6. 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法,其中函数的图象、零点、图象与$x$轴的关系等是关键要素,你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例,谈谈体会吗? + +### 复习参考题 2 + +**复习巩固** + +1. 某夏令营有 48 人,出发前要从 A, B 两种型号的帐篷中选择一种.A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶.若只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 5 人,则有一顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 4 人,则有帐篷多余.设 A 型号的帐篷有 $x$ 顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来. + [图片描述: 一张在山坡上搭有三顶露营帐篷的图片，前景是蓝色和红色的帐篷，背景是山和树木。|露营帐篷|图 第1题] + +2. 用不等号“>”或“<”填空: + (1) 若 $a>b$, 且 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 则 $ab$ \_\_\_\_ $0$; + (2) 若 $c>a>b>0$, 则 $\frac{a}{c-a}$ \_\_\_\_ $\frac{b}{c-b}$; + (3) 若 $a>b>c>0$, 则 $\frac{a}{b}$ \_\_\_\_ $\frac{a+c}{b+c}$. + +3. (1) 在面积为定值 $S$ 的扇形中,半径是多少时扇形的周长最小? + (2) 在周长为定值 $P$ 的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大? + +4. 求下列不等式的解集: + (1) $14-4x^2 \ge x$; + (2) $x^2-14x+45 < 0$; + (3) $x^2+6x+10 > 0$; + (4) $x(x+2) > x(3-x)+1$. + +第二章 一元二次函数、方程和不等式 57 + + + +## 综合运用 + +5. 若$a, b \ge 0$, 且$ab=a+b+3$, 求$ab$的取值范围. +6. 当$k$取什么值时, 一元二次不等式$2kx^2+kx-\frac{3}{8}<0$对一切实数$x$都成立? +7. 一般认为, 民用住宅的窗户面积必须小于地板面积, 但窗户面积与地板面积的比应不小于10%, 而且这个比值越大, 采光效果越好. + (1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m$^2$, 则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? + (2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积, 公寓的采光效果是变好了还是变坏了? +8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系: 即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题, 请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质, 仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题; 指出所列的对应不等关系的命题是否正确, 并说明理由. + +| 相等关系 | 不等关系 | 判断正误 | +| :------------------------ | :------------------------ | :------- | +| 相等关系的命题 | 不等关系的命题 | | +| (1)若$x=y$, 则$x^3=y^3$ | (1)若$x>y$, 则$x^3>y^3$ | 正确 | +| | | | +| | | | + +## 拓广探索 + +9. 如图, 居民小区要建一座八边形的休闲场所, 它的主体造型平面图是由两个相同的矩形$ABCD$和$EFGH$构成的面积为200 m$^2$的十字形地域, 计划在正方形$MNPQ$上建一座花坛, 造价为4200元/m$^2$; 在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪, 造价为210元/m$^2$; 再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪, 造价为80元/m$^2$. 设总造价为$S$(单位: 元), $AD$长为$x$(单位: m). 当$x$为何值时, $S$最小? 并求出这个最小值. + + [图片描述:一个八边形的休闲场所平面图。该平面图由两个相同的矩形ABCD和EFGH重叠构成一个十字形地域。中央是正方形MNPQ，四周的四个阴影矩形（如AMND）代表花岗岩地坪，四个空白三角形代表草坪。图中清晰标注了所有关键顶点A, B, C, D, E, F, G, H, M, N, P, Q。|八边形休闲场所平面图|(第9题)] + +10. 购买同一种物品, 可以用两种不同的策略, 第一种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品的数量一定; 第二种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品所花的钱数一定. 哪种购物方式比较经济? 你能把所得结论作一些推广吗? + +58 第二章 一元二次函数、方程和不等式 + + \ No newline at end of file diff --git a/hanshu.md b/hanshu.md new file mode 100644 index 0000000..b1e9816 --- /dev/null +++ b/hanshu.md @@ -0,0 +1,1491 @@ + +# 第三章 +## 函数的概念与性质 + +客观世界中有各种各样的运动变化现象,例如,天宫二号在发射过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中,水面高度随时间的变化而不断降低;我国高速铁路营业里程逐年增加……………所有这些都表现为变量间的对应关系,这种关系常常可用函数模型来描述,并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律. + +随着学习的深入你会发现,函数是贯穿高中数学的一条主线,是解决数学问题的基本工具;函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.同时,函数知识有广泛的实际应用,并且是学习其他学科的重要基础. + +本章我们将在初中的基础上,通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念,通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识,学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法,并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法,在此基础上,学习运用函数理解和处理问题的方法. + +[图片描述:一艘空间站在蓝色地球上方轨道运行，地球表面可见云层和海洋，空间站的太阳能电池板已展开。|空间站及其轨道示意图|图61-1] + + + + + +# 3.1 函数的概念及其表示 + +在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长 $l$ 与边长 $x$ 的对应关系是 $l=4x$，而且对于每一个确定的 $x$ 都有唯一的 $l$ 与之对应，所以 $l$ 是 $x$ 的函数。这个函数与正比例函数 $y=4x$ 相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断 $y=x$ 与 $y=\frac{x^2}{x}$ 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念。 + +## 3.1.1 函数的概念 + +先分析以下问题。 + +**问题1** 某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程 $s$ (单位：km) 与运行时间 $t$ (单位：h) 的关系可以表示为 $s=350t$。 + +[图片描述: 一列白色的“复兴号”高速列车在开阔的黄色油菜花田间疾驰，背景是连绵的绿色山脉和晴朗的蓝天。|高速列车匀速行驶示意图] + +这里，$t$ 和 $s$ 是两个变量，而且对于 $t$ 的每一个确定的值，$s$ 都有唯一确定的值与之对应，所以 $s$ 是 $t$ 的函数。 + +> **思考** +> +> 有人说：“根据对应关系 $s=350t$，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行 1 h 就前进了 350 km。”你认为这个说法正确吗？ + +根据问题1的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到 $t$ 的变化范围。 + +下面用更精确的语言表示问题1中 $s$ 与 $t$ 的对应关系。 +列车行进的路程 $s$ 与运行时间 $t$ 的对应关系是 +$$s=350t \quad \text{①}$$ +其中，$t$ 的变化范围是数集 $A_1=\{t|0 + +**问题 2** 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资$w$(单位：元)是他工作天数$d$的函数吗？ + +显然，工资$w$是一周工作天数$d$的函数，其对应关系是 +$$w=350d. \quad \text{(2)}$$ +其中，$d$的变化范围是数集$A_2=\{1,2,3,4,5,6\}$，$w$的变化范围是数集$B_2=\{350,700,1050,1400,1750,2100\}$。对于数集$A_2$中的任一个工作天数$d$，按照对应关系(2)，在数集$B_2$中都有唯一确定的工资$w$与它对应。 + +> 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ + +**问题 3** 图3.1-1是某市某日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻$t\,h$的空气质量指数(AQI)的值$I$？你认为这里的$I$是$t$的函数吗？ + +[图片描述:曲线图展示了某市一日内空气质量指数（AQI）随时间的变化。纵轴代表AQI值，从0到150，并根据AQI值划分为优（0-50，绿色区域），良（50-100，黄色区域），轻度污染（100-150，橙色区域）等级。横轴表示时间，可见0点和4点标记。图中有一条紫红色曲线，描绘了AQI值在不同时间点的波动情况。|空气质量指数（AQI）变化图|图3.1-1] + +从图3.1-1中的曲线可知，$t$的变化范围是数集$A_3=\{t|0 你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？ + +**问题 4** 国际上常用恩格尔系数$r(r=\frac{\text{食物支出金额}}{\text{总支出金额}}\times 100\%)$反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国城镇居民恩格尔系数变化情况。 + +第三章 函数的概念与性质 61 + + + +**表3.1-1 我国城镇居民恩格尔系数变化情况** + +| 年份 $y$ | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | +| :------------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 恩格尔系数 $r(\%)$ | 32.0 | 30.1 | 30.0 | 29.7 | 29.3 | 28.6 | 27.7 | 27.6 | 29.2 | 28.6 | + +你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数$r$是年份$y$的函数吗? 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数? + +这里，$y$的取值范围是数集$A_4=\{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021\}$；根据恩格尔系数的定义可知，$r$的取值范围是数集$B_4=\{r|0 💡 **归纳** +> +> 上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗? + +上述问题的共同特征有: +(1) 都包含两个非空数集，用$A$，$B$来表示; +(2) 都有一个对应关系; +(3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集$A$中的任意一个数$x$，按照对应关系，在数集$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应。 + +事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号$f$统一表示对应关系。 +一般地，设$A$，$B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f: A\to B$为从集合$A$到集合$B$的一个**函数** (function)，记作 +$$y=f(x), x\in A.$$ +其中，$x$叫做**自变量**，$x$的取值范围$A$叫做函数的**定义域** (domain)；与$x$的值相对应的$y$值叫做**函数值**，函数值的集合$\{f(x)|x\in A\}$叫做函数的**值域** (range)。 + +> 17世纪后期，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19世纪，李善兰首次将 function 翻译成“函数”。 + +显然，值域是集合$B$的子集。在问题1与问题2中，值域就是$B_1$和$B_2$；在问题3中，值域是数集$B_3$的真子集；在问题4中，值域$C_4=\{0.32,0.301,0.3,0.297,0.293,0.286,0.277,0.276,0.292\}$，是数集$B_4=\{r|0 + +我们所熟悉的一次函数$y=ax+b(a\neq0)$的定义域是**R**, 值域也是 **R**. 对应关系 $f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到**R**中唯一确定的数 $ax+b(a\neq0)$. +二次函数 $y = ax^2 + bx + c (a \neq0)$的定义域是**R**, 值域是$B$. 当$a>0$时, $B=\left\{y\left|y \geq \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}\right.$；当$a<0$时, $B=\left\{y\left|y \leq \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}\right.$. 对应关系$f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到$B$中唯一确定的数 $ax^2+bx+c(a\neq0)$. + +## ❓ 思考 +反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 的定义域、对应关系和值域各是什么? 请用函数定义描述这个函数. + +**例1** 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的, 它所反映的两个量之间的对应关系, 可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律, 例如, 正比例函数$y=kx(k\neq0)$ 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等. +试构建一个问题情境, 使其中的变量关系可以用解析式 $y=x(10-x)$来描述. +**解**: 把$y=x(10-x)$看成二次函数, 那么它的定义域是 **R**, 值域是$B=\{y|y\leq25\}$. 对应关系 $f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到$B$中唯一确定的数$x(10-x)$. +如果对$x$的取值范围作出限制, 例如$x\in\{x|0 + +2. 某日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）某市的温度走势如图所示。 +(1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； +(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度。 + +[图片描述: 一张显示某市从8时至次日8时温度变化的折线图。横轴表示时间（从8时、11时、1时、17时、次日2时、次日0时、次日0时、次日8时），纵轴表示温度（从-3°C到15°C）。曲线显示温度从8时的3°C上升，在1时达到最高12°C，随后逐渐下降，在次日0时达到最低2°C，之后回升至次日8时的3°C。图中明确标记的温度点有：8时3°C，11时8°C，1时12°C，17时9°C，次日2时7°C，次日0时4°C，次日0时3°C，次日0时2°C，次日8时3°C。|某市温度走势图|第2题] + +3. 集合$A, B$与对应关系$f$如下图所示: + +[图片描述: 一个表示集合A到集合B的对应关系$f$的图。集合A的元素为$\{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合B的元素为$\{1, 2, 3, 4, 5\}$。箭头表示的对应关系如下：$1 \to 1$, $2 \to 2$, $3 \to 3$, $4 \to 5$, $5 \to 4$。|集合A到集合B的对应关系示意图|第3题] + +$f: A \to B$ 是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ + +4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式$y=\sqrt{x}$来描述。 + +--- + +研究函数时常会用到区间的概念。 + +设$a, b$是两个实数，而且$a + +无穷大”，“+$\infty$”读作“正无穷大”. +满足 $x \ge a, x > a, x \le b, x < b$ 的实数 $x$ 的集合,可以用区间分别表示为 +$[a, +\infty), (a, +\infty), (-\infty, b], (-\infty, b)$. 这些区间的几何表示如表 3.1-3 所示. + +**表3.1-3** + +| 区间 | 数轴表示 | +| :----------- | :------------------------------------------------------------------------- | +| $[a, +\infty)$ | [图片描述:在数轴上，a点为实心圆点，一条带箭头的线从a点向右延伸。|区间$[a, +\infty)$的数轴表示|数轴表示] | +| $(a, +\infty)$ | [图片描述:在数轴上，a点为空心圆点，一条带箭头的线从a点向右延伸。|区间$(a, +\infty)$的数轴表示|数轴表示] | +| $(-\infty, b]$ | [图片描述:在数轴上，b点为实心圆点，一条带箭头的线从b点向左延伸。|区间$(-\infty, b]$的数轴表示|数轴表示] | +| $(-\infty, b)$ | [图片描述:在数轴上，b点为空心圆点，一条带箭头的线从b点向左延伸。|区间$(-\infty, b)$的数轴表示|数轴表示] | + +**例2** 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x+2}$, +(1) 求函数的定义域; +(2) 求 $f(-3), f\left(\frac{2}{3}\right)$ 的值; +(3) 当 $a \ge 0$ 时,求 $f(a), f(a-1)$ 的值. + +**分析:** 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 $y=f(x)$,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. + +> 在函数定义中,我们用符号 $y=f(x)$ 表示函数,其中 $f(x)$ 表示 $x$ 对应的函数值,而不是 $f$ 乘 $x$. + +**解:** (1) 使根式 $\sqrt{x+3}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \ge -3\}$, 使分式 $\frac{1}{x+2}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \ne -2\}$, 所以,这个函数的定义域是 +$\{x \mid x \ge -3\} \cap \{x \mid x \ne -2\} = \{x \mid x \ge -3, \text{且 } x \ne -2\}$, +即 $[-3, -2) \cup (-2, +\infty)$. + +(2) 将 $-3$ 与 $\frac{2}{3}$ 代入解析式,有 +$$f(-3)=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3+2}=-1;$$ +$$f\left(\frac{2}{3}\right)=\sqrt{\frac{2}{3}+3}+\frac{1}{\frac{2}{3}+2}=\sqrt{\frac{11}{3}}+\frac{1}{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{33}}{3}+\frac{3}{8}.$$ + +(3) 因为 $a \ge 0$, 所以 $f(a), f(a-1)$ 有意义. +$$f(a)=\sqrt{a+3}+\frac{1}{a+2};$$ +$$f(a-1)=\sqrt{a-1+3}+\frac{1}{a-1+2}=\sqrt{a+2}+\frac{1}{a+1}.$$ + +第三章 函数的概念与性质 65 + + + +由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 + +两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是$y=350x$，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是 $\mathbf{R}$，而是 $\mathbf{R}$ 的真子集，因此它们与正比例函数$y=350x(x \in \mathbf{R})$也不是同一个函数。 + +此外，函数$u = t^2$, $t \in (-\infty, +\infty)$, $x = y^2$, $y \in (-\infty,+\infty)$与 $y = x^2$, $x \in (-\infty,+\infty)$，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数。 + +**例3** 下列函数中哪个与函数$y=x$ 是同一个函数? +(1) $y=(\sqrt{x})^2$; +(2) $u=\sqrt[3]{v^3}$; +(3) $y=\sqrt{x^2}$; +(4) $m=\frac{n^2}{n}$. + +**解:** (1) $y=(\sqrt{x})^2=x(x \in \{x|x \ge 0\})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 +(2) $u=\sqrt[3]{v^3}=v(v \in \mathbf{R})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$是同一个函数。 +(3) $y=\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} -x, & x<0, \\ x, & x\ge0, \end{cases}$它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$的定义域都是实数集$\mathbf{R}$，但是当$x<0$时，它的对应关系与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 +(4) $m=\frac{n^2}{n}=n(n \in \{n|n \ne 0\})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 + +[图片描述:提示框，背景为浅蓝色，顶部有两个圆点，内文为关于利用信息技术辅助判断函数图象的建议。|信息技术辅助判断提示|图提示] +> 也可以利用信息技术 +> 画出例3中四个函数的图 +> 象，根据图象进行判断。 + +### **? 思考** +> 至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号 $y=f(x)$，明确了函数的构成要素。比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识? + +66 第三章 函数的概念与性质 + + + +## 练习 + +1. 求下列函数的定义域: + (1) $f(x)=\frac{1}{4x+7}$; + (2) $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}-1$. +2. 已知函数 $f(x)=3x^2+2x$, + (1) 求 $f(2)$, $f(-2)$, $f(2)+f(-2)$ 的值; + (2) 求 $f(a)$, $f(-a)$, $f(a)+f(-a)$ 的值. +3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数, 并说明理由: + (1) 表示炮弹飞行高度 $h$ 与时间 $t$ 关系的函数 $h=130t-5t^2$ 和二次函数 $y=130x-5x^2$; + (2) $f(x)=1$ 和 $g(x)=x^0$. + +--- + +## 3.1.2 函数的表示法 + +我们在初中已经接触过函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法. + +解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题1、2. +列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题 4. +图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题3. +这三种方法是常用的函数表示法. + +**例4** 某种笔记本的单价是5元, 买 $x(x \in \{1, 2, 3, 4, 5\})$ 个笔记本需要 $y$ 元.试用函数的三种表示法表示函数 $y=f(x)$. + +**解**: 这个函数的定义域是数集 $\{1,2,3,4,5\}$. +用解析法可将函数 $y=f(x)$ 表示为 +$y=5x, x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. + +用列表法可将函数 $y=f(x)$ 表示为 + +| 笔记本数 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | +|------------|----|----|----|----|----| +| 钱数 $y$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | + +用图象法可将函数 $y=f(x)$ 表示为图 3.1-2. + +[图片描述:一个散点图，横轴表示笔记本数 $x$ (从0到5), 纵轴表示钱数 $y$ (从0到25). 图中显示了五个离散点：(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25), 这些点呈线性分布。|笔记本数与钱数关系图|图3.1-2] + +--- + +**[Question Box]** +函数图象既可以是光滑的曲线, 也可以是直线、折线、离散的点等. 那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么? + +第三章 函数的概念与性质 67 + + + + +
+**💡 思考** +
+(1) 比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ +
+(2) 所有函数都能用解析法表示吗？请你举出实例加以说明。 +
+ +**例5** 画出函数$y=|x|$的图象。 + +**解**: 由绝对值的概念，我们有 +$$ y = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} $$ +所以，函数$y=|x|$的图象如图 3.1-3 所示。 + +[图片描述: 函数$y=|x|$的图象，呈V字形，顶点位于原点，对称轴是y轴，向第一、二象限延伸。|函数$y=|x|$的图象|图3.1-3] + +像例5中 $y = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$ 这样的函数称为**分段函数**，生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等。 + +**例6** 给定函数 $f(x)=x+1$, $g(x)=(x+1)^2$, $x \in \mathbf{R}$, +(1) 在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$, $g(x)$ 的图象; +(2) $\forall x \in \mathbf{R}$, 用 $M(x)$ 表示 $f(x)$, $g(x)$ 中的最大者，记为 +$$ M(x)=\max\{f(x), g(x)\}. $$ +例如，当 $x=2$ 时，$M(2)=\max\{f(2), g(2)\}=\max\{3,9\}=9$. +请分别用图象法和解析法表示函数 $M(x)$. + +**解**: +(1) 在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$, $g(x)$ 的图象 (图3.1-4)。 + +[图片描述: 在同一坐标系中，蓝色直线表示函数$f(x)=x+1$，粉色抛物线表示函数$g(x)=(x+1)^2$，抛物线的顶点在$(-1,0)$，两条曲线在$(-1,0)$和$(0,1)$处相交。|函数$f(x)$和$g(x)$的图象|图3.1-4] + +(2) 由图3.1-4中函数取值的情况，结合函数 $M(x)$ 的定义，可得函数 $M(x)$ 的图象(图3.1-5)。 + +[图片描述: 函数$M(x)$的图象，由函数$f(x)=x+1$和$g(x)=(x+1)^2$中取值较大的部分组成。图象在$x<-1$和$x>0$时遵循抛物线$g(x)$，在$-1 \le x \le 0$时遵循直线$f(x)$。|函数$M(x)$的图象|图3.1-5] + +由$(x+1)^2=x+1$, 得$x(x+1)=0$. +解得 $x=-1$, 或 $x=0$. + +68 第三章 函数的概念与性质 + + + +结合图3.1-5,得出函数 $M(x)$ 的解析式为 +$$ M(x)= \begin{cases} (x+1)^2, & x \le -1 \\ x+1, & -1 < x \le 0 \\ (x+1)^2, & x > 0 \end{cases} $$ + +> ? +> 你能用其他方法求出 $M(x)$ 的解析式吗? + +## 练习 + +1. 如图,把直截面半径为 $25\text{ cm}$ 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为 $x$ (单位: $\text{cm}$),面积为 $y$ (单位: $\text{cm}^2$),把 $y$ 表示为 $x$ 的函数. + [图片描述:一个圆内接矩形，矩形的一条边标为x。一条红线从圆心连接到矩形的一个顶点，中心附近有一个问号。|第1题|图示: 第1题] + +2. 画出函数 $y=|x-2|$ 的图象. + +3. 给定函数 $f(x)=-x+1, g(x)=(x-1)^2, x \in \mathbb{R}$, + (1) 画出函数 $f(x), g(x)$ 的图象; + (2) $\forall x \in \mathbb{R}$,用 $m(x)$ 表示 $f(x), g(x)$ 中的最小者,记为 $m(x)=\min\{f(x), g(x)\}$,请分别用图象法和解析法表示函数 $m(x)$. + +--- + +对于一个具体的问题,如果涉及函数,那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系. + +**例7** 表3.1-4 是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. + +表3.1-4 + +| 姓名 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | +| :--------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | +| *测试序号* | | | | | | | +| 王伟 | 98 | 87 | 91 | 92 | 88 | 95 | +| 张城 | 90 | 76 | 88 | 75 | 86 | 80 | +| 赵磊 | 68 | 65 | 73 | 72 | 75 | 82 | +| 班级平均分 | 88.2 | 78.3 | 85.4 | 80.3 | 75.7 | 82.6 | + +请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析. + +**解**:从表3.1-4 中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象(均为6个离散的点)表示出来,如图3.1-6,那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况,这对我们的分析很有帮助. + +从图3.1-6可以看到,王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动, + +第三章 函数的概念与性质 69 + + + +而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 + +[图片描述: 描绘了赵磊、王伟、张城三位同学的数学学习成绩以及班级平均分随时间变化的折线图。横轴表示时间或学习阶段，纵轴表示分数。赵磊的成绩在60-70分之间波动并有上升趋势，班级平均分在80-90分之间波动，王伟和张城的成绩在80-100分之间波动。|学生数学成绩与班级平均分变化图|图3.1-6] + +> 为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接。 + +**例8** 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 +$$ \text{个税税额} = \text{应纳税所得额} \times \text{税率} - \text{速算扣除数} \quad \text{①} $$ +应纳税所得额的计算公式为 +$$ \text{应纳税所得额} = \text{综合所得收入额} - \text{基本减除费用} - \text{专项扣除} - \text{专项附加扣除} - \text{依法确定的其他扣除} \quad \text{②} $$ +其中，“基本减除费用”（免征额）为每年$60000$元，税率与速算扣除数见表3.1-5。 + +表3.1-5 + +| 级数 | 全年应纳税所得额所在区间 | 税率(%) | 速算扣除数 | +| :--- | :----------------------- | :------ | :--------- | +| 1 | $[0, 36\ 000]$ | 3 | 0 | +| 2 | $(36\ 000, 144\ 000]$ | 10 | 2 520 | +| 3 | $(144\ 000, 300\ 000]$ | 20 | 16 920 | +| 4 | $(300\ 000, 420\ 000]$ | 25 | 31 920 | +| 5 | $(420\ 000, 660\ 000]$ | 30 | 52 920 | +| 6 | $(660\ 000, 960\ 000]$ | 35 | 85 920 | +| 7 | $(960\ 000, +\infty)$ | 45 | 181 920 | + +> “综合所得”包括工资、薪金、劳务报酬、稿酬、特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。 + +(1) 设全年应纳税所得额为 $t$，应缴纳个税税额为 $y$，求 $y=f(t)$，并画出图象； +(2) 小王全年综合所得收入额为 $117\ 600$ 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 $8\%$, $2\%$, + +70 第三章 函数的概念与性质 + + + +1%, 9%，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ + +**分析**:根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额： +1. 根据②计算出应纳税所得额$t$； +2. 由$t$的值并根据表 3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数； +3. 根据①计算出个税税额$y$的值。 +由于不同应纳税所得额$t$对应不同的税率与速算扣除数，所以$y$是$t$的分段函数。 + +**解**：(1) 根据表 3.1-5，可得函数 $y=f(t)$ 的解析式为 +$$ +y = \begin{cases} +0.03t, & 0 960\,000 +\end{cases} \quad \text{③} +$$ +函数图象如图3.1-7所示。 + +[图片描述:一个分段线性函数图，横轴表示应纳税所得额t（单位：元），纵轴表示个税税额y（单位：元）。图中的坐标轴上有多个标记点，横轴上有O，3600，144000，300000，420000，660000，960000，纵轴上有11880，43080，73080，145080，200000等。该图展示了不同应纳税所得额t对应的税额y，通过多个直线段连接形成。|函数y=f(t)的图象|图3.1-7] + +(2) 根据②，小王全年应纳税所得额为 +$$ +\begin{aligned} +t &= 117\,600 - 60\,000 - 117\,600 \times (8\%+2\%+1\%+9\%) - 9\,600 - 560 \\ +&= 0.8 \times 117\,600 - 70\,160 \\ +&= 23\,920 +\end{aligned} +$$ +将$t$的值代入③，得 +$$ +y = 0.03 \times 23\,920 = 717.6 +$$ +所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元。 + +第三章 函数的概念与性质 71 + + + +## 练习 + +1. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. + (1) 我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; + (2) 我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; + (3) 我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进. + + [图片描述:一个距离-时间图，表示先匀速前进，然后停止一段时间，最后以更快的匀速前进。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G1 (A)|图1.1] + [图片描述:一个距离-时间图，表示从家出发后，距离随时间以逐渐增加的速度（加速）变化。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G2|图1.2] + [图片描述:一个距离-时间图，表示从家出发后，距离随时间以逐渐减慢的速度（减速）变化。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G3|图1.3] + [图片描述:一个距离-时间图，表示先匀速前进，然后匀速返回家中（距离变为0），再匀速离开家。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G4 (B)|图1.4] + (第1题) + +2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: + (1) 5 km 以内 (含 5 km), 票价 2 元; + (2) 5 km 以上, 每增加 5 km, 票价增加 1 元 (不足 5 km 的按 5 km 计算). + 如果某条线路的总里程为 20 km,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. + + _**函数解析式:**_ + 设里程为 $s$ (km), 票价为 $P$ (元). + $$ + P(s) = \begin{cases} + 2 & (0 < s \le 5) \\ + 3 & (5 < s \le 10) \\ + 4 & (10 < s \le 15) \\ + 5 & (15 < s \le 20) + \end{cases} + $$ + _**函数图象描述:**_ + 该函数的图象是一个阶梯函数。在 $s$ 轴上，当 $0 < s \le 5$ 时，函数图象为一条水平线 $P=2$；当 $5 < s \le 10$ 时，函数图象为一条水平线 $P=3$；当 $10 < s \le 15$ 时，函数图象为一条水平线 $P=4$；当 $15 < s \le 20$ 时，函数图象为一条水平线 $P=5$。在每个阶梯的右端点（如 $s=5, 10, 15, 20$），图象是实心的点表示包含该值；在左端点（如 $s=5, 10, 15$ 的左侧），图象是空心点表示不包含该值，然后跳到下一个更高的票价。 + +## 习题 3.1 + +## 复习巩固 + +1. 求下列函数的定义域: + (1) $f(x)=\frac{3x}{x-4}$; + (2) $f(x)=\sqrt{x^2}$; + (3) $f(x)=\frac{6}{x^2-3x+2}$; + (4) $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$. + +2. 下列哪一组中的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同一个函数? + (1) $f(x)=x-1$, $g(x)=\frac{x^2}{x}-1$; + (2) $f(x)=x^2$, $g(x)=(\sqrt{x})^4$; + (3) $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt[3]{x^6}$. + +3. 画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域: + (1) $y=3x$; + (2) $y=\frac{8}{x}$; + (3) $y=-4x+5$; + (4) $y=x^2-6x+7$. + +72 第三章 函数的概念与性质 + + + +4. 已知函数 $f(x)=3x^2-5x+2$, 求 $f(-\sqrt{2})$, $f(-a)$, $f(a+3)$, $f(a)+f(3)$ 的值. +5. 已知函数 $f(x) = \frac{x+2}{x-6}$ + (1) 点 $(3,14)$ 在 $f(x)$ 的图象上吗? + (2) 当 $x=4$ 时, 求 $f(x)$ 的值. + (3) 当 $f(x)=2$ 时, 求 $x$ 的值. +6. 若 $f(x)=x^2+bx+c$, 且 $f(1)=0$, $f(3)=0$, 求 $f(-1)$ 的值. +7. 画出下列函数的图象: + (1) $f(x)=\begin{cases} 0, & x\le0 \\ 1, & x>0 \end{cases}$; + (2) $G(n)=3n+1$, $n \in \{1,2,3\}$. + +## 综合运用 + +8. 如图, 矩形的面积为10. 如果矩形的长为 $x$, 宽为 $y$, 对角线为 $d$, 周长为 $l$, 那么你能获得关于这些量的哪些函数? + + [图片描述:一个矩形，其长为 $x$，宽为 $y$，对角线为 $d$。|$x, y, d$ 标注的矩形图|图 (第8题)] + +9. 一个圆柱形容器的底部直径是 $d$ cm, 高是 $h$ cm. 现在向容器內每秒注入某种溶液 $v$ cm$^3$. 求容器內溶液的高度 $x$ (单位: cm) 关于注入溶液的时间 $t$ (单位: s) 的函数解析式, 并写出函数的定义域和值域. +10. 一个老师用5分制对数学作业评分. 一次作业中, 第一小组同学按座位序号 $1,2,3,4,5,6$ 的次序, 得分依次是 $5,3,4,2,4,5$. 你会怎样表示这次作业的得分情况? 用 $x,y$ 分别表示序号和对应的得分, $y$ 是 $x$ 的函数吗? 如果是, 那么它的定义域、值域和对应关系各是什么? +11. 函数 $r=f(p)$ 的图象如图所示, + (1) 函数 $r=f(p)$ 的定义域、值域各是什么? + (2) $r$ 取何值时, 只有唯一的 $p$ 值与之对应? + + [图片描述:一个函数 $r=f(p)$ 的图象。该图象由两部分组成：一部分从 $(-5,2)$ 延伸到 $(0,5)$ 的平滑曲线；另一部分从 $(0,0)$ 开始，标记为 $l$，向右上方延伸并逐渐接近垂直直线 $m$（即 $p=6$）但永不相交。坐标轴标有 $r$ 和 $p$。|$r=f(p)$ 的函数图象|图 (第11题)] + + > 图中, 曲线 $l$ 与直线 $m$ 无限接近, 但永不相交. + +12. 画出定义域为 $\{x|-3\le x\le8, 且 x\ne5\}$, 值域为 $\{y|-1\le y\le2, y\ne0\}$ 的一个函数的图象. + (1) 将你的图象和其他同学的相比较, 有什么差别吗? + (2) 如果平面直角坐标系中点 $P(x,y)$ 的坐标满足 $-3\le x\le8$, $-1\le y\le2$, 那么其中哪些点不能在图象上? + +第三章 函数的概念与性质 73 + + + +13. 函数$f(x)=[x]$的函数值表示不超过$x$的最大整数,例如, $[-3.5]=-4$, $[2.1]=2$. 当$x \in (-2.5,3]$时,写出函数$f(x)$的解析式,并画出函数的图象. + +14. 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式$y=\frac{1}{2}ax^2(a>0)$来描述. + +## 拓广探索 +[图片描述:一个蓝色的圆形图标，中间是白色圆点，外围是两个半圆形弧线，代表探索或目标|拓广探索图标|图标] + +15. 如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点$P$的距离是2km,从点$P$沿海岸正东12 km 处有一个城镇. + (1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h,$t$(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,$x$(单位:km)表示此人将船停在海岸处距点$P$的距离.请将$t$表示为$x$的函数. + (2) 如果将船停在距点$P$ 4km处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到0.1h)? + +[图片描述:一个表示小岛、海岸线和城镇的几何示意图。小岛垂直于海岸线上的点P，距离为2k。从点P沿海岸线向右有一段距离x，船在此处停靠。从停靠点到城镇的剩余海岸线距离为1-x。从P点到城镇的总距离被标记为1k。从小岛到停靠点的直线距离标记为d1。|小岛到城镇示意图|图15.1] +(第15题) + +16. 给定数集 $A=\mathbf{R}$, $B=(-\infty,0]$,方程 + $$ u^2+2v=0 \quad \text{①} $$ + (1) 任给$u \in A$,对应关系$f$使方程①的解$v$与$u$对应,判断$v=f(u)$是否为函数; + (2) 任给$v \in B$,对应关系$g$使方程①的解$u$与$v$对应,判断$u=g(v)$是否为函数. + +17. 探究是否存在函数$f(x)$, $g(x)$满足条件: + (1) 定义域相同,值域相同,但对应关系不同; + (2) 值域相同,对应关系相同,但定义域不同. + +18. 在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率$\pi$准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字,如果记圆周率$\pi$小数点后第$n$位上的数字为$y$,那么你认为$y$是$n$的函数吗? 如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系;如果不是,请说明理由. + +74 第三章 函数的概念与性质 + + + +## 💡 阅读与思考 + +### 函数概念的发展历程 + +17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程，这正是函数概念产生和发展的背景。 + +“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646—1716）使用。在中国，清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”。 + +[图片描述:一张旧书页，其中包含中文文字和一些数学符号，显示了《代微积拾级》的内容，是早期数学著作的样貌。|《代微积拾级》|图77-1] + +莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，他的学生、瑞士数学家约翰·伯努利（J. Bernoulli, 1667—1748）强调函数要用式子表示，后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以，1755年，瑞士数学家欧拉（L. Euler, 1707—1783）将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。 + +当时很多数学家对于不用式子表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。函数的概念仍然是比较模糊的。 + +随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了。德国数学家狄利克雷（P. G. L. Dirichlet, 1805—1859）在1837年时提出：“如果对于$x$的每一个值，$y$总有一个完全确定的值与之对应，那么$y$是$x$的函数。”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个$x$，有一个确定的$y$和它对应就行了，不管这个法则是用解析式还是用图象、表格等形式表示，例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念。 + +综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。 + +你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？ + +第三章 函数的概念与性质 75 + + + +## 3.2 函数的基本性质 + +> 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质。 + +前面学习了函数的定义和表示法，知道函数 $y=f(x)$ ($x \in A$) 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律，因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法。 + +我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质。观察图 3.2-1 中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ + +[图片描述:三幅不同的函数图像，分别展示了增长、波动和具有多个局部极小值的特性。左图为一条通过原点，从第三象限上升至第一象限的曲线，x轴范围约为-6到6，y轴范围约为-100到100；中图为一条在x轴上下波动的曲线，x轴范围约为-2到2，y轴范围约为-6到6，具有一个波峰和一个波谷；右图为一条具有多个谷底的曲线，x轴范围约为-5到5，y轴范围约为-1到6，显示出两个明显的局部最小值。|函数图象示例|图3.2-1] + +### 3.2.1 单调性与最大(小)值 + +在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性，下面进一步用符号语言刻画这种性质。 + +先研究二次函数 $f(x)=x^2$ 的单调性。 +画出它的图象（如图 3.2-2），可以看到： +图象在 $y$ 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当 $x \le 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。用符号语言描述，就是任意取 $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$，得到 $f(x_1)=x_1^2$, $f(x_2)=x_2^2$，那么当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1)>f(x_2)$。这时我们就说函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $(-\infty, 0]$ 上是单调递减的。 + +[图片描述:一张抛物线图像 $y=x^2$，在y轴左侧（即 $x<0$ 的部分），标注了两个点 $x_1$ 和 $x_2$，其中 $x_1$ 在 $x_2$ 的左侧（即 $x_1 < x_2 < 0$）。从 $x_1$ 和 $x_2$ 分别向上画虚线到抛物线，再从交点向y轴画虚线，示意对应的函数值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$。图中清晰显示 $f(x_1)$ 高于 $f(x_2)$，以此说明函数在该区间单调递减。曲线旁边标记为 $f(x^2)$。|二次函数 $f(x)=x^2$ 在负半轴的单调性|图3.2-2] + +> ? 你能说明为什么 $f(x_1)>f(x_2)$ 吗? + +图象在 $y$ 轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当 + +76 第三章 函数的概念与性质 + + + +当$x \ge 0$时, $y$随$x$的增大而增大, 用符号语言表达, 就是任意取 $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$, 得到 $f(x_1)=x_1^2$, $f(x_2)=x_2^2$, 那么当$x_1 < x_2$时, 有 $f(x_1) < f(x_2)$. 这时我们就说函数 $f(x)=x^2$在区间$[0, +\infty)$上是单调递增的. + +> **?** 你能说明为什么 $f(x_1) < f(x_2)$ 吗? + +> **? 思考** +> +> 函数$f(x)=|x|$, $f(x)=-x^2$各有怎样的单调性? + +一般地, 设函数$f(x)$的定义域为 $D$, 区间 $I \subseteq D$: +如果$\forall x_1, x_2 \in I$, 当$x_1 < x_2$时, 都有 $f(x_1) < f(x_2)$, 那么就称函数$f(x)$在区间 **$I$上单调递增** (图3.2-3(1)). +特别地, 当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是**增函数** (increasing function). + +[图片描述: (1) 描绘了函数在区间上单调递增的情况，图中显示x轴、y轴，一条向右上方倾斜的曲线表示函数y=f(x)。当$x_1 < x_2$时，通过虚线指引，对应的函数值$f(x_1)$在$f(x_2)$下方，即$f(x_1) < f(x_2)$。(2) 描绘了函数在区间上单调递减的情况，图中显示x轴、y轴，一条向右下方倾斜的曲线表示函数y=f(x)。当$x_1 < x_2$时，通过虚线指引，对应的函数值$f(x_1)$在$f(x_2)$上方，即$f(x_1) > f(x_2)$。|单调函数示意图|图3.2-3] + +如果$\forall x_1, x_2 \in I$, 当$x_1 < x_2$时, 都有 $f(x_1) > f(x_2)$, 那么就称函数$f(x)$在区间 **$I$上单调递减** (图3.2-3(2)). +特别地, 当函数$f(x)$在它的定义域上单调递减时, 我们就称它是**减函数** (decreasing function). +如果函数 $y=f(x)$在区间 $I$上单调递增或单调递减, 那么就说函数$y=f(x)$在这一区间具有 (严格的)**单调性**, 区间$I$叫做$y=f(x)$的**单调区间**. + +> **? 思考** +> +> (1) 设$A$是区间$I$上某些自变量的值组成的集合, 而且$\forall x_1, x_2 \in A$, 当$x_1 < x_2$时, 都有$f(x_1) < f(x_2)$, 我们能说函数$f(x)$在区间$I$上单调递增吗? 你能举例说明吗? +> (2) 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的, 你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗? 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗? + +第三章 函数的概念与性质 77 + + + +**例1** 根据定义,研究函数$f(x)=kx+b(k \neq 0)$的单调性. + +**分析:** 根据函数单调性的定义,需要考察当$x_1f(x_2)$.根据实数大小关系的基本事实,只要考察$f(x_1)-f(x_2)$与$0$的大小关系. + +**解:** 函数$f(x)=kx+b(k \neq 0)$的定义域是$\mathbf{R}$. $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R}$,且$x_10$时,$k(x_1-x_2)<0$.于是 +$f(x_1)-f(x_2)<0,$ +即 +$f(x_1)0$.于是 +$f(x_1)-f(x_2)>0,$ +即 +$f(x_1)>f(x_2).$ +这时,$f(x)=kx+b$是减函数. + +> 在初中,我们利用函数图象得到了上述结论,这里用严格的推理运算得到了函数$f(x) = kx+b$的单调性. + +**例2** 物理学中的玻意耳定律$p=\frac{k}{V}$($k$为正常数)告诉我们,对于一定质量的气体,当其温度不变时,体积$V$减小,压强$p$将增大.试对此用函数的单调性证明. + +**分析:** 根据题意,只要证明函数$p=\frac{k}{V}$($V \in (0, +\infty)$)是减函数即可. + +**证明:** $\forall V_1, V_2 \in (0, +\infty)$,且$V_10$; +由$V_10$. +又$k>0$,于是 +$p_1-p_2>0,$ +即 +$p_1>p_2.$ + +所以,根据函数单调性的定义,函数$p=\frac{k}{V}$,$V \in (0,+\infty)$是减函数.也就是说,当体积$V$减小时,压强$p$将增大. + +78 第三章 函数的概念与性质 + + + +例3 根据定义证明函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增. + +证明: $\forall x_1, x_2 \in (1, +\infty)$, 且$x_1 < x_2$, 有 + +$$y_1 - y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) - \left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) + \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right)$$ +$$ = (x_1 - x_2) + \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}(x_1 x_2 - 1).$$ + +由$x_1, x_2 \in (1, +\infty)$, 得$x_1 > 1$, $x_2 > 1$. +所以 +$$x_1 x_2 > 1, x_1 x_2 - 1 > 0.$$ +又由$x_1 < x_2$, 得$x_1 - x_2 < 0$. +于是 +$$\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}(x_1 x_2 - 1) < 0,$$ +即 +$$y_1 < y_2.$$ +所以,函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增. + +## 练习 + +1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. +[图片描述:一个表示生产效率与工人数关系的曲线图。x轴表示“工人数”，y轴表示“生产效率”。曲线从原点开始上升，达到一个峰值后下降，呈倒U形。|生产效率与工人数关系图|(第1题)] + +2. 根据定义证明函数$f(x)=3x+2$是增函数. + +3. 证明函数$f(x)=-\frac{2}{x}$在区间$(-\infty,0)$上单调递增. + +4. 画出反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象. +(1) 这个函数的定义域$D$是什么? +(2) 它在定义域$D$上的单调性是怎样的?证明你的结论. + +> 通过观察图象,先对 +> 函数是否具有某种性质做 +> 出猜想,然后通过逻辑推 +> 理,证明这种猜想的正确 +> 性,是研究函数性质的一 +> 种常用方法. + +再来观察本节的图3.2-2,可以发现,二次函数$f(x)=x^2$的图象上有一个最低点$(0,0)$,即$\forall x \in \mathbf{R}$, 都有$f(x) \ge f(0)$. 当一个函数$f(x)$的图象有最低点时,我们就说函数$f(x)$有最小值. + +第三章 函数的概念与性质 79 + + + +> **? 思考** +> 你能以函数 $f(x)=-x^2$ 为例说明函数 $f(x)$ 的最大值的含义吗？ +> +> 一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在实数 $M$ 满足： +> (1) $\forall x \in D$，都有 $f(x) \le M$； +> (2) $\exists x_0 \in D$，使得 $f(x_0)=M$。 +> 那么，我们称 $M$ 是函数 $y=f(x)$ 的**最大值** (maximum value)。 + +> **? 思考** +> 你能仿照函数最大值的定义，给出函数 $y=f(x)$ 的**最小值** (minimum value) 的定义吗？ + +**例 4** “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度 $h$ (单位：m) 与时间 $t$ (单位：s) 之间的关系为 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少 (精确到 1 m)？ + +[图片描述: 夜空中绽放着三朵五彩斑斓的烟花，有红色、蓝色和黄色，底部有向上冲的烟雾。|璀璨的烟花|图3.2-4.1] + +**解：** 画出函数 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$ 的图象。 + +**[旁白]** 烟花设计者就是按照这些数据设定引火线的长度，以达到施放烟花的最佳效果。 + +显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 + +[图片描述: 描绘了烟花高度与时间关系的二次函数图象。横轴表示时间 $t$ (从0到4)，纵轴表示高度 $h$ (从0到30)，曲线呈抛物线形状，约在 $t=1.5$ 处达到最高点，高度约为29。|烟花高度与时间关系图|图3.2-4] + +**图 3.2-4** + +由二次函数的知识，对于函数 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$，我们有： + +当 $t=-\frac{14.7}{2 \times (-4.9)}=1.5$ 时，函数有最大值 + +$h=\frac{4 \times (-4.9) \times 18 - 14.7^2}{4 \times (-4.9)} \approx 29$. + +于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m。 + +80 第三章 函数的概念与性质 + + + +**例 5** 已知函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ $(x \in [2, 6])$, 求函数的最大值和最小值. + +**分析:** 由函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ $(x \in [2, 6])$ 的图象 (图 3.2-5) 可知, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上单调递减. + +[图片描述:这是一个坐标系中的函数曲线图。横轴表示 $x$ 轴，从 0 到 6。纵轴表示 $y$ 轴，从 0 到 2.5。函数曲线从点 $(2, 2)$ 开始，向右下方弯曲，经过 $(3, 1)$，最终在 $x=6$ 处取值为 $0.4$ (即点 $(6, 0.4)$)。在 $x=2$ 和 $x=6$ 处有虚线垂直于 $x$ 轴，表示函数的定义域。这清楚地展示了函数在该区间内的单调递减趋势。|函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 的图象|图3.2-5] + +所以, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 的两个端点上分别取得最大值和最小值. + +**解:** $\forall x_1, x_2 \in [2, 6]$, 且 $x_10$, $(x_1-1)(x_2-1)>0$, + +于是 +$$f(x_1)-f(x_2)>0,$$ +即 +$$f(x_1)>f(x_2).$$ +所以, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上单调递减. + +因此, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 的两个端点上分别取得最大值与最小值. 在 $x=2$ 时取得最大值, 最大值是 $2$; 在 $x=6$ 时取得最小值, 最小值是 $0.4$. + +**练习** + +1. 整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖, 中午时分(12:00~13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多, 暴风雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山(18:00)才又开始转凉, 画出这一天 8:00~20:00 期间气温作为时间函数的一个可能的图象(示意图), 并说出所画函数的单调区间. +2. 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-6, 11]$. 如果 $f(x)$ 在区间 $[-6, -2]$ 上单调递减, 在区间 $[-2, 11]$ 上单调递增, 画出 $f(x)$ 的一个大致的图象, 从图象上可以发现 $f(-2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个 ______. +3. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}$, 求函数在区间 $[2, 6]$ 上的最大值和最小值. + +第三章 函数的概念与性质 81 + + + +## 3.2.2 奇偶性 + +前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质。下面继续研究函数的其他性质。 + +画出并观察函数$f(x)=x^2$和$g(x)=2-|x|$的图象(图3.2-6),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? + +[图片描述:左侧是函数 $f(x)=x^2$ 的图像，它是一个开口向上的抛物线，关于y轴对称，顶点在原点；右侧是函数 $g(x)=2-|x|$ 的图像，它是一个开口向下的V形折线，最高点在(0,2)，同样关于y轴对称。两个图像都显示了x轴从-3到3，y轴从0到5的范围。|函数 $f(x)=x^2$ 和 $g(x)=2-|x|$ 的图像|图3.2-6] + +可以发现,这两个函数的图象都关于$y$轴对称。 + +> **探究** +> +> 类比函数单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于$y$轴对称”这一特征吗? + +不妨取自变量的一些特殊值,观察相应函数值的情况,如表 3.2-1。 + +**表 3.2-1** + +| $x$ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | +|----------------|-----|----|----|----|---|---|---|---|-----| +| $f(x)=x^2$ | ... | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... | +| $g(x)=2-|x|$ | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | -1 | ... | + +可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等。 +例如,对于函数$f(x)=x^2$,有 +$f(-3)=9=f(3)$; +$f(-2)=4=f(2)$; +$f(-1)=1=f(1)$. + +实际上,$\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$, +这时称函数 $f(x)=x^2$ 为偶函数。 + +> 请你仿照这个过程, +> 说明函数$g(x)=2-|x|$ +> 也是偶函数。 + +82 第三章 函数的概念与性质 + + + +一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果 $\forall x \in D$，都有 $-x \in D$，且 $f(-x)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做**偶函数** (even function). + +例如，函数 $f(x)=x^2+1$， $g(x)=\frac{2}{x^2+11}$ 都是偶函数，它们的图象分别如图 3.2-7 (1)(2)所示。 + +[图片描述: (1) 函数 $f(x)=x^2+1$ 的图象，为开口向上的抛物线，关于y轴对称。(2) 函数 $g(x)=\frac{2}{x^2+11}$ 的图象，为钟形曲线，关于y轴对称。|偶函数的图象示例|图 3.2-7] + +## 探究 + +观察函数 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象(图 3.2-8)，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？ + +[图片描述: (1) 函数 $f(x)=x$ 的图象，为过原点的直线。(2) 函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象，为位于第一、三象限的双曲线，关于原点对称。|关于原点中心对称的函数图象|图 3.2-8] + +可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形，为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成表 3.2-2. + +**表 3.2-2** + +| $x$ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | +|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| +| $f(x)=x$ | ... | | | | | | | | ... | +| $g(x)=\frac{1}{x}$ | ... | | | | | | | | ... | + +可以发现，当自变量 $x$ 取一对相反数时，相应的函数值 $f(x)$ 也是一对相反数。 + +第三章 函数的概念与性质 83 + + + +例如, 对于函数 $f(x)=x$, 有 +$f(-3)=-3=-f(3)$; +$f(-2)=-2=-f(2)$; +$f(-1)=-1=-f(1)$. +实际上, $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(-x)=-x=-f(x)$. 这时称函数 $f(x)=x$ 为奇函数. + +一般地, 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 如果 $\forall x \in D$, 都有 $-x \in D$, 且 $f(-x)=-f(x)$, 那么函数 $f(x)$ 就叫做**奇函数** (odd function). + +> 请你仿照这个过程，说明函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 也是奇函数。 + +**例6** 判断下列函数的奇偶性: +(1) $f(x)=x^4$; +(2) $f(x)=x^5$; +(3) $f(x)=x+\frac{1}{x}$; +(4) $f(x)=\frac{1}{x^2}$. + +**解:** +(1) 函数 $f(x)=x^4$ 的定义域为 $\mathbf{R}$. +因为 $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $-x \in \mathbf{R}$, 且 +$f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$, +所以, 函数 $f(x)=x^4$ 为偶函数. + +(2) 函数 $f(x)=x^5$ 的定义域为 $\mathbf{R}$. +因为 $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $-x \in \mathbf{R}$, 且 +$f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)$, +所以, 函数 $f(x)=x^5$ 为奇函数. + +> 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域. + +(3) 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的定义域为 $\{x|x \neq 0\}$. +因为 $\forall x \in \{x|x \neq 0\}$, 都有 $-x \in \{x|x \neq 0\}$, 且 +$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f(x)$, +所以, 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 为奇函数. + +(4) 函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 的定义域为 $\{x|x \neq 0\}$. +因为 $\forall x \in \{x|x \neq 0\}$, 都有 $-x \in \{x|x \neq 0\}$, 且 +$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$, +所以, 函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 为偶函数. + +84 第三章 函数的概念与性质 + + + +## ? 思考 + +(1) 判断函数 $f(x)=x^3+x$ 的奇偶性。 +(2) 图 3.2-9 是函数 $f(x)=x^3+x$ 图象的一部分，你能根据 $f(x)$ 的奇偶性画出它在 $y$ 轴左边的图象吗？ +(3) 一般地，如果知道 $y=f(x)$ 为偶 (奇) 函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ + +[图片描述: 坐标系中显示函数 $f(x)=x^3+x$ 在 $x>0$ 部分的图象。x轴从-3到3，y轴从-5到5。|函数 $f(x)=x^3+x$ 的部分图象|图3.2-9] + +## 练习 + +1. 已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，试将下图补充完整。 + +[图片描述: 左侧坐标系中显示函数 $f(x)$ 在 $x>0$ 部分的图象，该图象呈波浪状，起始于原点上方并向右上方延伸。右侧为一个空白坐标系，等待绘制 $g(x)$ 的图象。|函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的补充图|第1题] + +(第 1 题) + +2. 判断下列函数的奇偶性: + (1) $f(x)=2x^4+3x^2$; + (2) $f(x)=x^3-2x$. + +3. (1) 从偶函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴对称； + (2) 从奇函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称。 + +## 习题 3.2 + +## 📚 复习巩固 + +1. 根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性。 + +[图片描述: 坐标系中显示一个函数图象，它从 $x=-1$ 处下降到原点，然后上升到 $x \approx 1.5$ 处的一个局部最大值，接着下降到 $x \approx 2.5$ 处的一个局部最小值，再上升。x轴从-1到接近3，y轴从0到7。|函数单调性示意图|第1题] + +(第 1 题) + +第三章 函数的概念与性质 85 + + + +2. 画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 $y=f(x)$ 的单调区间及在每一单调区间上的单调性。 + (1) $y=x^2-5x-6$; + (2) $y=9-x^2$. + +3. 证明: + (1) 函数 $f(x)=-2x+1$ 是减函数; + (2) 函数 $f(x)=x^2+1$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增; + (3) 函数 $f(x)=1-\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增. + +4. 某汽车租赁公司的月收益 $y$(单位: 元)与每辆车的月租金 $x$(单位: 元)间的关系为 $y=-\frac{x^2}{50} + 162x-21000$，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ + +5. 判断下列函数的奇偶性: + (1) $f(x)=x^2+1$; + (2) $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. + +## 综合运用 + +6. 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高。画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象(示意图)。 + +7. 已知函数 $f(x)=x^2-2x$, $g(x)=x^2-2x(x \in [2,4])$, + (1) 求 $f(x)$, $g(x)$ 的单调区间; + (2) 求 $f(x)$, $g(x)$ 的最小值. + +8. (1) 根据函数单调性的定义证明函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $[3, +\infty)$ 上单调递增. + (2) 讨论函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性. + (3) 讨论函数 $y=x+\frac{k}{x} (k>0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性. + +9. 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I \subseteq D$, 记 $\Delta x=x_1-x_2$, $\Delta y=f(x_1)-f(x_2)$. 证明: + (1) 函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增的充要条件是: $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$; + (2) 函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减的充要条件是: $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$. + +10. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 $30 \text{ m}$，那么宽 $x$(单位: m)为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？ + [图片描述: 示意图展示了两间相邻的矩形熊猫居室，它们共用一面墙，并有另外一面靠着一面大墙。图中标注了垂直于大墙的边长为 $x$。|第10题图|第10题] + +11. 已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，当 $x \ge 0$ 时，$f(x)=x(1+x)$。画出函数 $f(x)$ 的图象，并求出函数的解析式。 + +86 第三章 函数的概念与性质 + + + + +**拓广探索** +12. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数，而且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断。 +13. 我们知道，函数 $y=f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x+a)-b$ 为奇函数。 + (1) 求函数 $f(x)=x^3-3x^2$ 图象的对称中心； + (2) 类比上述推广结论，写出“函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为偶函数”的一个推广结论。 + +**信息技术应用** +### 用计算机绘制函数图象 +利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象，不同的计算机软件绘制函数图象的具体操作不尽相同，但都是基于我们熟悉的描点作图，即给自变量赋值，用计算法则算出相应的函数值，再由这些对应值生成一系列的点，最后连接这些点描绘出函数图象。下面以软件《GeoGebra》为例，介绍用计算机软件绘制函数图象的方法。 + +一、直接输入函数绘制函数 $y=x^3$ 的图象 +打开软件《GeoGebra》，在下方的输入框内直接输入“$y=x^3$”，回车，在代数区就会显示该函数的解析式“$f(x)=x^3$”，而在绘图区就会自动显示相应函数 $y=x^3$ 的图象（如图1）。 + +[图片描述: GeoGebra软件界面，显示了函数$f(x)=x^3$的图像。图像为一条通过原点的S形曲线，从左下向右上延伸，穿过坐标原点。左侧代数区显示了函数表达式`f(x) = x³`。|GeoGebra绘制函数$y=x^3$的图像|图1] + +图1 + +第三章 函数的概念与性质 87 + + + +## 二、绘制含参数$b$的函数$y=bx^2(b \ne 0)$的图象 + +(1) 打开软件《GeoGebra》，在输入框内输入参数“b”，回车，创建滑动条$b$，选择$b$的“属性”，依图2提示可自由设置其最小值、最大值、增量等后关闭。 +(2) 在输入框內直接输入函数“y=b*x^2”，回车，在绘图区直接显示出当时参数$b$的值对应的函数$y=bx^2$的图象(图2)。 + +当你左右移动滑动条中点$b$的位置时，函数$y=bx^2$的图象就会“动”起来，如图 2。 + +[图片描述:GeoGebra软件界面，显示了函数$y=-0.4x^2$的抛物线图象，以及参数$b$的滑动条（$b=-0.4$）。左侧面板列出了绘制的曲线“c: y = -0.4x²”和数字“b = -0.4”。坐标系x轴范围约为-5到5，y轴范围约为-3到4。|GeoGebra函数$y=bx^2$图象演示|图2] + +图2 + +如果有条件，请你绘制函数$y=ax^2+bx+c(a \ne 0)$的图象，并探究系数$a, b, c$对函数图象的影响。 + +88 第三章 函数的概念与性质 + + + +## 3.3 幂函数 + +前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质。本节我们利用这些知识研究一类新的函数。先看几个实例。 + +(1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 $w$ kg,那么她需要支付 $p=w$ 元,这里 $p$ 是 $w$ 的函数; +(2) 如果正方形的边长为 $a$,那么正方形的面积 $S=a^2$,这里 $S$ 是 $a$ 的函数; +(3) 如果立方体的棱长为 $b$,那么立方体的体积 $V=b^3$,这里 $V$ 是 $b$ 的函数; +(4) 如果一个正方形场地的面积为 $S$,那么这个正方形的边长 $c=\sqrt{S}$,这里 $c$ 是 $S$ 的函数; +(5) 如果某人 $t$ s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度 $v=\frac{1}{t}$ km/s,即 $v=t^{-1}$,这里 $v$ 是 $t$ 的函数. + +> $\sqrt{S}$ 也可以表示为 $S^{\frac{1}{2}}$. + +> **⊙ 观察** +> +> 观察(1)～(5)中的函数解析式,它们有什么共同特征? + +实际上,这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量;幂的指数都是常数,分别是 $1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$;它们都是形如 $y=x^\alpha$ 的函数。 +一般地,函数 $y=x^\alpha$ 叫做**幂函数** (power function),其中 $x$ 是自变量, $\alpha$ 是常数。 + +> 幂的指数除了可以取整数之外,还可以取其他实数,当它们取其他实数时幂也具有各自的含义,这些会在后面学习。 + +对于幂函数,我们只研究 $\alpha=1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$ 时的图象与性质。 + +> **? 思考** +> +> 结合以往学习函数的经验,你认为应该如何研究这些函数? + +第三章 函数的概念与性质 89 + + +通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图像；再利用图像和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题。 + +在同一坐标系中画出函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图像 (图 3.3-1)。 + +[图片描述: 包含五条不同颜色函数曲线的坐标系，展示了函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 在同一平面直角坐标系中的图像。其中$y=x$为绿色直线，$y=x^2$为红色抛物线，$y=x^3$为蓝色三次曲线，$y=x^{\frac{1}{2}}$为粉色曲线，$y=x^{-1}$为黑色双曲线|幂函数图像示例|图3.3-1] + +### 探究 + +观察函数图像并结合函数解析式，将你发现的结论写在表 3.3-1 内。 + +**表 3.3-1** + +| 项目 | $y=x$ | $y=x^2$ | $y=x^3$ | $y=x^{\frac{1}{2}}$ | $y=x^{-1}$ | +| :------- | :---- | :------ | :------ | :------------------ | :--------- | +| 定义域 | | | | | | +| 值域 | | | | | | +| 奇偶性 | | | | | | +| 单调性 | | | | | | + +这些函数图像有公共点吗？ + +通过图 3.3-1 与表 3.3-1，我们得到： + +(1) 函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图像都通过点 $(1, 1)$； +(2) 函数 $y=x$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$ 是奇函数，函数 $y=x^2$ 是偶函数； +(3) 在区间 $(0, +\infty)$ 上，函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 单调递增，函数 $y=x^{-1}$ 单调递减； +(4) 在第一象限内，函数 $y=x^{-1}$ 的图像向上与 $y$ 轴无限接近，向右与 $x$ 轴无限接近。 + +**例** 证明幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数。 + +**证明：** 函数的定义域是 $[0, +\infty)$。 + +$\forall x_1, x_2 \in [0, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$，有 + +90 第三章 函数的概念与性质 + + + +$$ +f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2} \\ +=\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} \\ +=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} +$$ + +因为 $x_1-x_2<0$, 且 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0$， +所以 $f(x_1) + +## 探究与发现 + +### 探究函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象与性质 + +在初中，我们知道 $y=x$ 是正比例函数，$y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数。学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数。不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？ + +下面请同学们带着问题探究一下函数 $y=x+\frac{1}{x}$。 + +1. 你认为可以从哪些方面研究这个函数？ +2. 你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？ +3. 按照你构建的路径研究你想到的问题。 +4. 证明：当 $x>0$ 时，$x+\frac{1}{x} \ge 2$，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$，即 $x=1$ 时取得等号；当 $x<0$ 时，$x+\frac{1}{x} \le -2$，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$，即 $x=-1$ 时取得等号。 +5. 你画出的函数图象与图1类似吗？ + +[图片描述:坐标系中绘制了函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图像。图像由两个分支组成，一个位于第一象限，另一个位于第三象限，关于原点对称。图中还绘制了一条虚线 $y=x$，作为图像的斜渐近线。X轴和Y轴的范围大约是-10到10，Y轴范围大约是-8到8，并标注了刻度。|函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图像|图1] + +6. 函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象有什么变化趋势？你能利用函数 $y=x$ 和 $y=\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势说明函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势吗？ +7. 通过对函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 图象与性质的探究，你有哪些体会？ + +92 第三章 函数的概念与性质 + + + +## 3.4 函数的应用 (一) + +我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 + +**例1** 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为$x$ (单位：元)，应缴纳综合所得个税税额为$y$ (单位：元)。 + +(1) 求$y$关于$x$的函数解析式； +(2) 如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ + +**分析:** 根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额$t$关于综合所得收入额$x$的解析式$t=g(x)$，再结合$y=f(t)$的解析式③，即可得出$y$关于$x$的函数解析式。 + +**解:** (1) 由个人应纳税所得额计算公式，可得 +$$t=x-60\,000-x(8\%+2\%+1\%+9\%)-9\,600-560$$ +$$=0.8x-70\,160.$$ +令$t=0$，得$x=87\,700$。 +根据个人应纳税所得额的规定可知，当$0 \le x \le 87\,700$时，$t=0$。所以，个人应纳税所得额$t$关于综合所得收入额$x$的函数解析式为 +$$t=\begin{cases} 0, & 0 \le x \le 87\,700, \\ 0.8x-70\,160, & x > 87\,700. \end{cases}$$ +结合3.1.2例8的解析式③，可得： +当$0 \le x \le 87\,700$时，$t=0$，所以$y=0$； +当$87\,700 < x \le 132\,700$时，$0 < t \le 36\,000$，所以 +$$y=t \times 3\%=0.024x-2\,104.8;$$ +当$132\,700 < x \le 267\,700$时，$36\,000 < t \le 144\,000$，所以 +$$y=t \times 10\%-2\,520=0.08x-9\,536;$$ +当$267\,700 < x \le 462\,700$时，$144\,000 < t \le 300\,000$，所以 +$$y=t \times 20\%-16\,920=0.16x-30\,952;$$ +当$462\,700 < x \le 612\,700$时，$300\,000 < t \le 420\,000$，所以 +$$y=t \times 25\%-31\,920=0.2x-49\,460;$$ + +第三章 函数的概念与性质 93 + + + +当 $612700 < x \leq 912700$ 时, $420000 < t \leq 660000$, 所以 +$y = t \times 30\% - 52920 = 0.24x - 73968$; +当 $912700 < x \leq 1287700$ 时, $660000 < t \leq 960000$, 所以 +$y = t \times 35\% - 85920 = 0.28x - 110476$; +当 $x > 1287700$ 时, $t > 960000$, 所以 +$y = t \times 45\% - 181920 = 0.36x - 213492$. + +所以, 函数解析式为 +$$ +y=\begin{cases} +0, & 0 \leq x \leq 87700, \\ +0.024x-2104.8, & 87700 < x \leq 132700, \\ +0.08x-9536, & 132700 < x \leq 267700, \\ +0.16x-30952, & 267700 < x \leq 462700, \\ +0.2x-49460, & 462700 < x \leq 612700, \\ +0.24x-73968, & 612700 < x \leq 912700, \\ +0.28x-110476, & 912700 < x \leq 1287700, \\ +0.36x-213492, & x > 1287700. +\end{cases} +$$④ + +(2) 根据④, 当 $x=153600$ 时, +$y = 0.08 \times 153600 - 9536 = 2752$. +所以, 小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 $2752$ 元. + +根据个人收入情况, 利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式, 就可以直接求得应缴纳的个税. + +**例2** 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 $v$ (单位: km/h) 与时间 $t$ (单位: h) 的关系如图 3.4-1 所示, +(1) 求图 3.4-1 中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; +(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 $2004$ km, 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 $s$ (单位: km) 与时间 $t$ 的函数解析式, 并画出相应的图象. + +[图片描述:横轴表示时间t(h)，纵轴表示平均速率v(km/h)的柱状图。显示了汽车在不同时间段的平均速率：0-1h为50km/h，1-2h为75km/h，2-3h为90km/h，3-4h为70km/h，4-5h为65km/h。|汽车平均速率与时间的关系图|图3.4-1] + +> 你能根据图 3.4-1 画 +> 出汽车行驶路程关于时间 +> 变化的图象吗? + +94 第三章 函数的概念与性质 + + + + +**分析**: 当时间 $t$ 在 $[0, 5]$ 内变化时，对于任意的时刻 $t$ 都有唯一确定的行驶路程与之相对应。根据图 3.4-1，在时间段 $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$, $[3, 4)$, $[4, 5]$ 内行驶的平均速率分别为 $50 \text{ km/h}$, $80 \text{ km/h}$, $90 \text{ km/h}$, $75 \text{ km/h}$, $65 \text{ km/h}$。因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。 + +**解**: +(1) 阴影部分的面积为 +$50 \times 1 + 80 \times 1 + 90 \times 1 + 75 \times 1 + 65 \times 1 = 360$. +阴影部分的面积表示汽车在这 $5 \text{ h}$ 内行驶的路程为 $360 \text{ km}$。 + +(2) 根据图 3.4-1，有 +$$ +s = \begin{cases} +50t+2004, & 0 \le t < 1, \\ +80(t-1)+2054, & 1 \le t < 2, \\ +90(t-2)+2134, & 2 \le t < 3, \\ +75(t-3)+2224, & 3 \le t < 4, \\ +65(t-4)+2299, & 4 \le t \le 5. +\end{cases} +$$ +这个函数的图象如图 3.4-2 所示。 + +[图片描述: 一张显示 $s$ 随 $t$ 变化的折线图，横轴表示时间 $t$（单位：小时），从 0 到 5；纵轴表示路程 $s$（单位：公里），从 2000 到 2400。图中有五个线段，连接了五个数据点，表示汽车在不同时间段的行驶路程。|汽车行驶路程与时间的函数图象|图3.4-2] + +本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助。因此，我们要注意提高读图能力，另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数。 + +## 练习 + +1. 若用模型 $y=ax^2$ 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 $y$ (单位: m) 与刹车时的速率 $x$ (单位: km/h) 的关系，而某种型号的汽车在速率为 $60 \text{ km/h}$ 时，紧急刹车后滑行的距离为 $20 \text{ m}$。在限速为 $100 \text{ km/h}$ 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 $50 \text{ m}$，那么这辆车是否超速行驶？ +2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为 $l$ (单位: m) 的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ +3. 某公司生产某种产品的固定成本为 $150$ 万元，而每件产品的可变成本为 $2500$ 元，每件产品的售价为 $3500$ 元，若该公司所生产的产品全部销售出去，则 + (1) 设总成本为 $y_1$ (单位: 万元)，单位成本为 $y_2$ (单位: 万元)，销售总收入为 $y_3$ (单位: 万元)，总利润为 $y_4$ (单位: 万元)，分别求出它们关于总产量 $x$ (单位: 件) 的函数解析式； + (2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析。 + +第三章 函数的概念与性质 95 + + + + + +### 习题 3.4 + +### 综合运用 + +1. 某人开汽车以$60\text{ km/h}$的速率从$A$地到$150\text{ km}$远处的$B$地, 在$B$地停留$1\text{ h}$后, 再以$50\text{ km/h}$的速率返回$A$地. 把汽车与$A$地的距离$x$(单位: $\text{km}$)表示为时间$t$(单位: $\text{h}$)(从$A$地出发时开始)的函数; 再把车速$v$(单位: $\text{km/h}$)表示为时间$t$的函数, 并分别画出这两个函数的图象. +2. 要建造一个容积为$1200\text{ m}^3$, 深为$6\text{ m}$的长方体无盖蓄水池, 池壁的造价为$95\text{ 元/m}^2$, 池底的造价为$135\text{ 元/m}^2$. 如何设计水池的长与宽, 才能使水池的总造价控制在$7\text{ 万元}$以内(精确到$0.1\text{ m}$)? +3. 为了保护水资源, 提倡节约用水, 某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”. 计费方法如下表: + + | 每户每月用水量 | 水价 | + | :--------------- | :--- | + | 不超过$12\text{ m}^3$的部分 | $3\text{ 元/m}^3$ | + | 超过$12\text{ m}^3$但不超过$18\text{ m}^3$的部分 | $6\text{ 元/m}^3$ | + | 超过$18\text{ m}^3$的部分 | $9\text{ 元/m}^3$ | + + 若某户居民本月交纳的水费为$48\text{ 元}$, 求此户居民本月用水量. + +### 拓广探索 + +4. 图(1)是某条公共汽车线路收支差额$y$关于乘客量$x$的图象. + (1) 试说明图(1)上点$A$, 点$B$以及射线$AB$上的点的实际意义; + (2) 由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议, 如图(2)(3)所示. 你能根据图象, 说明这两种建议是什么吗? + + [图片描述: 坐标系中，y轴负半轴上有点A，x轴正半轴上有点B，一条直线通过A和B，并延伸到第一象限。|公交线路收支差额与乘客量关系图(1)|图4.1] + [图片描述: 坐标系中，一条虚线表示原始的收支差额与乘客量关系，一条实线从原点出发，斜率比虚线大，表示新的收支差额与乘客量关系。|公交线路收支差额与乘客量关系图(2)|图4.2] + [图片描述: 坐标系中，一条虚线表示原始的收支差额与乘客量关系，一条实线与虚线平行，但整体向上平移，表示新的收支差额与乘客量关系。|公交线路收支差额与乘客量关系图(3)|图4.3] + + (第4题) + +5. 下表是拉力$F$(单位: $\text{N}$)与弹簧伸长长度$x$(单位: $\text{cm}$)的相关数据: + + | $F$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | + | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | + | $x$ | 14.2 | 28.8 | 41.3 | 57.5 | 70.2 | + + 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象, 并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式. + +96 第三章 函数的概念与性质 + + + + +## 文献阅读与数学写作 * + +### 函数的形成与发展 + +自17世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置。数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学、物理和其他学科中，函数关系随处可见。例如，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，等等。 + +如果用心搜集、广泛阅读、仔细观察，那么就会在很多书籍、网页中发现有关函数的介绍，也能在生活中发现许多函数应用的实例。 + +请同学们根据下面的建议和参考选题，通过自主活动，了解函数的发展历程及其广泛应用。 + +#### 一、目标 + +1. 了解函数形成、发展的历史。 +2. 体验文献综述的写作过程与方法。 + +#### 二、实施建议 + +1. 确定选题：根据个人兴趣初步确定选题范围，明确阅读方向，拟定写作题目。 +2. 搜集资料：针对写作题目，通过查阅书籍、上网等方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料。 +3. 素材整理：认真分析素材，按照一定的主题进行归纳概括，并用文献综述的方式形成读书报告。 +4. 交流讨论：开展组内或全班交流、讨论和总结。 + +#### 三、参考选题 + +1. 函数产生的社会背景。 +2. 函数概念发展的历史过程。 +3. 函数符号的故事。 +4. 数学家与函数。 + +众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨和欧拉等，可以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。 + +可以从以上选题中选择一个，也可以采用自己的题目。 + +\* 标有 \* 的内容为选学内容，不作为考试要求。 + +第三章 函数的概念与性质 97 + + + + +**四、文献综述的结构** + +1. **标题。** +2. **提要或前言**：简要介绍研究意义；介绍搜集的资料范围及资料来源，包括查阅了哪些主要著作、查询了哪些网络资料库（如中国学术期刊全文数据库、中国学位论文全文数据库等），搜索到的相关论文的篇目数量等。 +3. **正文**：这是文献综述的核心部分，应在归类整理的基础上，对自己搜集到的有用资料进行系统介绍。 +4. **参考文献**：列出所有参考文献，并按论文中的参考文献的格式将作者名、文献名、文献页码、文献出处、时间等信息全面标示出来。 + +98 第三章 函数的概念与性质 + + + +# 小结 + +## 一、本章知识结构 + +本章的知识结构图如下所示，展示了函数概念的引入、发展及其应用： + +```mermaid +graph TD + A[函数] + B[函数的现实背景] + C[函数的概念与表示] + D[函数的基本性质] + E[幂函数] + F[函数的应用] + + A --> C + B --> C + C --> D + C --> E + + %% 原始图中D和E下方有一条公共的垂直线连接到F， + %% 意在表示理解了基本性质和特殊函数（如幂函数）后， + %% 才能更好地进行函数的应用。 + D -- 进而支持 --> F + E -- 进而支持 --> F +``` +[图片描述:这是一个展示函数知识结构的流程图。从核心概念“函数”和其“现实背景”出发，引入“函数的概念与表示”，进而探讨“函数的基本性质”和“幂函数”，最终引导至“函数的应用”。|函数知识结构图|无图号] + +## 二、回顾与思考 + +本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念，与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质：两个数集之间的一种确定的对应关系；明确了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域；引入了函数符号：$y=f(x)$。与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。 + +函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等，在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。 + +研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求。例如：事物的变化趋势，用料最省、利润最大、效率最高，对称性等，这些特性反映在函数上，就是函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等。在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观（观察图象）入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，研究某个函数的性质，则要利用单调性、奇偶性等定义，通过推理、运算来实现，这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法。 + +本章的学习对后面研究有关函数问题具有指导作用，我们可以按照下面的“逻辑图”获得研究内容： + +第三章 函数的概念与性质 99 + + + + +```mermaid +graph TD + A[数] -->|类比| B(函数) + B -->|推广| C[映射] + B -->|联系| D[方程、数列、不等式等] + B -->|特殊化| E[例如,一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等] +``` + +请你带着下面的问题,复习一下全章内容吧! +1. 通过本章学习,你对函数概念有什么新的认识? +2. 你能结合具体实例,分析、比较函数的各种表示方法的特点吗? +3. 函数的性质一般包括哪些方面?为什么要研究这些性质?你能总结一下研究函数性质的一般过程和方法吗? + +## 复习参考题3 + +### 复习巩固 + +1. 求下列函数的定义域: + (1) $y=\sqrt{x-2\sqrt{x+5}}$; + (2) $y=\frac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$. + +2. 已知函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 求: + (1) $f(a)+1(a \neq -1)$; + (2) $f(a+1)(a \neq -2)$. + +3. 设$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$, 求证: + (1) $f(-x)=f(x)$; + (2) $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)(x \neq 0)$. + +4. 已知函数$f(x)=4x^2-kx-8$在$[5, 20]$上具有单调性, 求实数$k$的取值范围. + +5. 已知幂函数$y=f(x)$的图象过点$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$, 试求出此函数的解析式, 并画出图象, 判断奇偶性、单调性. + +6. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收入$R$(单位: 元)关于月产量$x$(单位: 台)满足函数: + $$ + R= + \begin{cases} + 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \le x \le 400 \\ + 80000, & x > 400 + \end{cases} + $$ + +100 第三章 函数的概念与性质 + + + +(1)将利润 $P$(单位: 元) 表示为月产量 $x$ 的函数; +(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润) + +## 综合运用 + +7. 已知函数 $f(x)= \begin{cases} x(x+4), & x \ge 0 \\ x(x-4), & x < 0 \end{cases}$, 求 $f(1)$, $f(-3)$, $f(a+1)$ 的值. + +8. 证明: + (1) 若 $f(x)=ax+b$, 则 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$; + (2) 若 $g(x)=x^2+ax+b$, 则 $g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \le \frac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$. + +9. (1) 已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减? + (2) 已知偶函数 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减? + +10. 某地区上年度电价为 $0.8$ 元/(kW•h), 年用电量为 $a$ kW•h, 本年度计划将电价下降到 $0.55$ 元/(kW•h) 至 $0.75$ 元/(kW•h) 之间, 而用户期望电价为 $0.4$ 元/(kW•h). 经测算, 下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为 $k$). 该地区的电力成本价为 $0.3$ 元/(kW•h). + (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益 $y$(单位: 元) 关于实际电价 $x$(单位: 元/(kW•h)) 的函数解析式;(收益=实际电量×(实际电价一成本价)) + (2)设 $k=0.2a$, 当电价最低定为多少时, 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20\%$? + +## 拓广探索 + +11. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品价格(自变量), 而用横轴来表示产品数量(因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条表示客户希望的需求曲线? 为什么? + + [图片描述: 坐标系中，纵轴为单价，横轴为数量。曲线从左下向右上方倾斜，表示单价越高，数量越多。|供应曲线示意图|图11.(1)] + [图片描述: 坐标系中，纵轴为单价，横轴为数量。曲线从左上向右下方倾斜，表示单价越高，数量越少。图中有虚线作为辅助线。|需求曲线示意图|图11.(2)] + + (第11题) + +12. 试讨论函数 $y=x-\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、单调性、奇偶性, 并画出函数图象. + +第三章 函数的概念与性质 101 + + + +13. 如图, $\triangle OAB$ 是边长为 $2$ 的正三角形, 记 $\triangle OAB$ 位于直线 $x=t(t>0)$ 左侧的图形的面积为 $f(t)$. 试求函数 $y=f(t)$ 的解析式, 并画出函数 $y=f(t)$ 的图象. + +[图片描述: 坐标系中有一个正三角形 $OAB$，其中 $O$ 为原点， $A$ 在 $x$ 轴上。一条垂直于 $x$ 轴的直线 $x=t$ 穿过三角形，直线左侧的三角形区域被阴影标记。该图为第13题的示意图。|第13题示意图|图13-1] + +14. 某商场经营一批进价为 $30$ 元/件的商品, 在市场试销中发现, 此商品的销售单价 $x$ (单位: 元) 与日销售量 $y$ (单位: 件) 之间有如下表所示的关系. + +| $x$ | ... | 30 | 40 | 45 | 50 | ... | +| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | +| $y$ | ... | 60 | 30 | 15 | 0 | ... | + +(1) 根据表中提供的数据描出实数对 $(x,y)$ 的对应点, 根据画出的点猜想 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系, 并写出一个函数解析式; + +(2) 设经营此商品的日销售利润为 $P$ (单位: 元), 根据上述关系, 写出 $P$ 关于 $x$ 的函数解析式, 并求销售单价为多少元时, 才能获得最大日销售利润. + +102 第三章 函数的概念与性质 + + \ No newline at end of file diff --git a/jihe.md b/jihe.md new file mode 100644 index 0000000..414dc11 --- /dev/null +++ b/jihe.md @@ -0,0 +1,1287 @@ + +# 第一章 +## 集合与常用逻辑用语 + +我们知道，方程$x^2=2$在有理数范围内无解，但在实数范围内有解，在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础，为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具，事实上，集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它。在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法。 + +逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养，本章我们将通过常用逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性。 + + + + +# 1.1 集合的概念 + +在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等。为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识，下面先从集合的含义开始。 + +看下面的例子: +(1) 1~10之间的所有偶数； +(2) 立德中学今年入学的全体高一学生； +(3) 所有的正方形； +(4) 到直线 $l$ 的距离等于定长 $d$ 的所有点； +(5) 方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根； +(6) 地球上的四大洋。 + +例(1)中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例(2)中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合。 + +> **? 思考** +> 上面的例(3)到例(6)也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？ + +一般地，我们把研究对象统称为**元素** (element)，把一些元素组成的总体叫做**集合** (set)（简称为**集**）。 + +给定的集合，它的元素必须是**确定**的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，“1~10之间的所有偶数”构成一个集合，$2, 4, 6, 8, 10$是这个集合的元素，$1, 3, 5, 7, 9, \cdots$不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。 + +一个给定集合中的元素是**互不相同**的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 + +只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是**相等**的。 + +我们通常用大写拉丁字母 $A, B, C, \cdots$ 表示集合，用小写拉丁字母 $a, b, c, \cdots$ 表示集合的元素。 + +如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ **属于** (belong to) 集合 $A$，记作 $a \in A$；如果 $a$ 不是 + +2 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +集合A中的元素，就说 $a$ **不属于** 集合A，记作 $a \notin A$。 +例如，若用 $A$ 表示前面例(1)中“1~10之间的所有偶数”组成的集合，则有 $4 \in A$，$3 \notin A$，等等。 + +| 数学中一些常用的数集及其记法 | +| :--------------------------------------------------------------------------------------------- | +| 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作 **N**; | +| 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 **N*** 或 **N**$_{ + }$; | +| 全体整数组成的集合称为整数集，记作 **Z**; | +| 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 **Q**; | +| 全体实数组成的集合称为实数集，记作 **R**. | + +从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ + +### 列举法 + +“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为 {太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}; +“方程 $x^2-3x+2=0$ 的所有实数根”组成的集合可以表示为 {1, 2}. +像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“$\{ \}$”括起来表示集合的方法叫做**列举法**。 + +**例1** 用列举法表示下列集合: +(1) 小于10的所有自然数组成的集合; +(2) 方程 $x^2=x$ 的所有实数根组成的集合. + +**解:** (1) 设小于10的所有自然数组成的集合为 $A$，那么 +$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. +(2) 设方程 $x^2=x$ 的所有实数根组成的集合为 $B$，那么 +$B=\{0, 1\}$. + +由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法，例如，例1(1)的集合还可以写成 +$A=\{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0\}$ +等。 + +
+**? 思考** +(1) 你能用自然语言描述集合 $\{0,3,6,9\}$ 吗? +(2) 你能用列举法表示不等式 $x-7<3$ 的解集吗? +
+ +第一章 集合与常用逻辑用语 3 + + + +## 描述法 + +不等式 $x-7<3$ 的解是 $x<10$，因为满足 $x<10$ 的实数有无数个，所以 $x-7<3$ 的解集无法用列举法表示。但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：$x$ 是实数，且 $x<10$，把解集表示为 +$$ \{x \in \mathbb{R} | x<10\} $$ +又如，整数集 $\mathbb{Z}$ 可以分为奇数集和偶数集。对于每一个 $x \in \mathbb{Z}$，如果它能表示为 $x=2k+1(k \in \mathbb{Z})$ 的形式，那么它是一个奇数；反之，如果 $x$ 是一个奇数，那么它能表示为 $x=2k+1(k \in \mathbb{Z})$ 的形式。所以，$x=2k+1(k \in \mathbb{Z})$ 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为 + +[图片描述:一个带有问号图标的黄色提示框，内含问题“你能用这样的方法表示偶数集吗？”|思考与探索：偶数集的描述法|图示问答框] + +$$ \{x \in \mathbb{Z} | x=2k+1, k \in \mathbb{Z}\} $$ +一般地，设 $A$ 是一个集合，我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P(x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为 +$$ \{x \in A | P(x)\} $$ +这种表示集合的方法称为**描述法**。 + +[图片描述:一个带有圆点图标的蓝色提示框，解释了在集合表示中，有时也用冒号或分号代替竖线，示例如：$\{x \in A:P(x)\}$ 或 $\{x \in A;P(x)\}$。|数学符号提示：集合表示的替代符号|图示说明框] + +例如，实数集 $\mathbb{R}$ 中，有限小数和无限循环小数都具有 $\frac{q}{p}$ $(p, q \in \mathbb{Z}, p \neq 0)$ 的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 +$$ \mathbb{Q}=\left\{x \in \mathbb{R} | x=\frac{q}{p}, p, q \in \mathbb{Z}, p \neq 0\right\} $$ +其中，$x=\frac{q}{p}$ $(p, q \in \mathbb{Z}, p \neq 0)$ 就是所有有理数具有的共同特征。 +显然，对于任何 $y \in \{x \in A|P(x)\}$，都有 $y \in A$，且 $P(y)$ 成立。 + +**例2** 试分别用描述法和列举法表示下列集合: +(1) 方程 $x^2-2=0$ 的所有实数根组成的集合 $A$; +(2) 由大于 $10$ 且小于 $20$ 的所有整数组成的集合 $B$. +**解:** (1) 设 $x \in A$，则 $x$ 是一个实数，且 $x^2-2=0$。因此，用描述法表示为 +$$ A=\{x \in \mathbb{R} | x^2-2=0\} $$ +方程 $x^2-2=0$ 有两个实数根 $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$，因此，用列举法表示为 +$$ A=\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\} $$ +(2) 设 $x \in B$，则 $x$ 是一个整数，即 $x \in \mathbb{Z}$，且 $10 + +$B=\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}$。 + +我们约定，如果从上下文的关系看，$x \in \mathbf{R}$，$x \in \mathbf{Z}$是明确的，那么$x \in \mathbf{R}$，$x \in \mathbf{Z}$可以省略，只写其元素$x$。例如，集合$D=\{x \in \mathbf{R}|x<10\}$也可表示为$D=\{x|x<10\}$；集合$E=\{x \in \mathbf{Z}|x=2k+1, k \in \mathbf{Z}\}$也可表示为$E=\{x|x=2k+1,k \in \mathbf{Z}\}$。 + +> **❓ 思考** +> 举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点。 + +## 练习 + +1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： + (1) $A, B$是平面$\alpha$内的定点，在平面$\alpha$内与$A, B$等距离的点； + (2) 高中学生中的游泳能手。 + +2. 用符号“$\in$”或“$\notin$”填空： + $0 \_\_\_\_ \mathbf{N}$；$-3 \_\_\_\_ \mathbf{N}$；$0.5 \_\_\_\_ \mathbf{Z}$；$\sqrt{2} \_\_\_\_ \mathbf{Z}$；$\frac{1}{3} \_\_\_\_ \mathbf{Q}$；$\pi \_\_\_\_ \mathbf{R}$。 + +3. 用适当的方法表示下列集合： + (1) 由方程$x^2-9=0$的所有实数根组成的集合； + (2) 一次函数$y=x+3$与$y=-2x+6$图象的交点组成的集合； + (3) 不等式$4x-5<3$的解集。 + +## 习题 1.1 + +### 复习巩固 + +1. 用符号“$\in$”或“$\notin$”填空： + (1) 设$A$为所有亚洲国家组成的集合，则 + 中国 \_\_\_\_ $A$，美国 \_\_\_\_ $A$，印度 \_\_\_\_ $A$，英国 \_\_\_\_ $A$； + (2) 若$A=\{x|x^2=x\}$，则$-1 \_\_\_\_ A$； + (3) 若$B=\{x|x^2+x-6=0\}$，则$3 \_\_\_\_ B$； + (4) 若$C=\{x \in \mathbf{N}|1 \le x \le 10\}$，则$8 \_\_\_\_ C$，$9.1 \_\_\_\_ C$。 + +2. 用列举法表示下列集合： + (1) 大于1且小于6的整数； + (2) $A=\{x|(x-1)(x+2)=0\}$； + (3) $B=\{x \in \mathbf{Z}|-3<2x-1<3\}$。 + +第一章 集合与常用逻辑用语 5 + + + +## 综合运用 + +3. 把下列集合用另一种方法表示出来: + (1) {2, 4, 6, 8, 10}; + (2) 由1, 2, 3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数; + (3) {$x \in N | 3 + +## 1.2 集合间的基本关系 + +我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如 +$5=5,5<7,5>3$,等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢? + +> **● 观察** +> +> 观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? +> (1) $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{1, 2, 3, 4, 5\}$; +> (2) $C$为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合,$D$为这个班全体学生组成的集合; +> (3) $E=\{x|x$是有两条边相等的三角形$\}$, $F=\{x|x$是等腰三角形$\}$. + +可以发现,在(1)中,集合$A$的任何一个元素都是集合$B$的元素,这时我们说集合 +$A$包含于集合$B$,或集合$B$包含集合$A$.(2)中的集合$C$与集合$D$也有这种关系. +一般地,对于两个集合$A,B$,如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素,就称集合$A$为集合$B$的**子集** +(subset),记作 +$A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$), +读作“$A$包含于$B$”(或“$B$包含$A$”). +在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为**Venn图**,这样,上述集合$A$与集合$B$的包含关系,可以用图1.2-1表示. + +[图片描述:一个大的圆形集合B包含一个小的圆形集合A，表示集合的包含关系。|集合的包含关系示意图|图1.2-1] + +在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合$E, F$都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合$E$中任何一个元素都是集合$F$中的元素,同时,集合$F$中任何一个元素也都是集合$E$中的元素,这样,集合$E$的元素与集合$F$的元素是**一样**的. +一般地,如果集合$A$的任何一个元素都是集合$B$的元素,同时集合$B$的任何一个元素都是集合$A$的元素,那么集合$A$与集合$B$相等,记作 $A=B$. + +> 请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. + +第一章 集合与常用逻辑用语 7 + + + +也就是说，若 $A \subseteq B$，且 $B \subseteq A$，则 $A=B$. +如果集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的**真子集** (proper subset)，记作 $A \subsetneq B$ (或 $B \supsetneq A$)， +读作“$A$ 真包含于 $B$”(或“$B$ 真包含 $A$”). + +> 与实数中的结论“若 $a \geq b$，且 $b \geq a$，则 $a=b$”相类比，你有什么体会？ + +例如，在 (1) 中，$A \subseteq B$，但 $4 \in B$，且 $4 \notin A$，所以集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集. +我们知道，方程 $x^2+1=0$ 没有实数根，所以方程 $x^2+1=0$ 的实数根组成的集合中没有元素. +一般地，我们把不含任何元素的集合叫做**空集** (empty set)，记为 $\emptyset$，并规定：空集是任何集合的子集. + +> 你能举出几个空集的例子吗？ + +--- + +**❓ 思考** + +包含关系 $\{a\} \subseteq A$ 与属于关系 $a \in A$ 有什么区别？试结合实例作出解释. + +--- + +由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： +(1) 任何一个集合是它本身的子集，即 $A \subseteq A$; +(2) 对于集合 $A, B, C$，如果 $A \subseteq B$，且 $B \subseteq C$，那么 $A \subseteq C$. + +**例1** 写出集合 $\{a, b\}$ 的所有子集，并指出哪些是它的真子集. +**解**: 集合 $\{a, b\}$ 的所有子集为 $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$. 真子集为 $\emptyset, \{a\}, \{b\}$. + +**例2** 判断下列各题中集合 $A$ 是否为集合 $B$ 的子集，并说明理由: +(1) $A=\{1,2,3\}, B=\{x|x是8的约数\}$; +(2) $A=\{x|x是长方形\}, B=\{x|x是两条对角线相等的平行四边形\}$. +**解**: (1) 因为 $3$ 不是 $8$ 的约数，所以集合 $A$ 不是集合 $B$ 的子集. +(2) 因为若 $x$ 是长方形，则 $x$ 一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集. + +--- + +### 练习 + +1. 写出集合 $\{a, b, c\}$ 的所有子集. +2. 用适当的符号填空: + (1) $a$ \_\_\_ $\{a, b, c\}$; + (3) $\emptyset$ \_\_\_ $\{x \in \mathbb{R}|x^2+1=0\}$; + (2) $0$ \_\_\_ $\{x|x^2=0\}$; + (4) $\{0,1\}$ \_\_\_ $\mathbb{N}$; + +8 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + + +(5) $\{0\}$ \_\_\_\_ $\{x|x^2=x\}$; +(6) $\{2,1\}$ \_\_\_\_ $\{x|x^2-3x+2=0\}$. + +3. 判断下列两个集合之间的关系: +(1) $A=\{x|x<0\}$, $B=\{x|x<1\}$; +(2) $A=\{x|x=3k, k\in\mathbf{N}\}$, $B=\{x|x=6z, z\in\mathbf{N}\}$; +(3) $A=\{x \in\mathbf{N}_+ |x$ 是4与10的公倍数$\}$, $B=\{x|x=20m, m\in\mathbf{N}_+\}$. + +
+

习题 1.2

+
+ +
+

复习巩固图标 复习巩固

+

1. 选用适当的符号填空:

+ (1) 若集合$A=\{x|2x-3<3x\}$, $B=\{x|x\ge2\}$,则 + $-4$ \_\_\_\_ $B$, $-3$ \_\_\_\_ $A$, $\{2\}$ \_\_\_\_ $B$, $B$ \_\_\_\_ $A$; + (2) 若集合$A=\{x|x^2-1=0\}$,则 + $1$ \_\_\_\_ $A$, $\{-1\}$ \_\_\_\_ $A$, $\emptyset$ \_\_\_\_ $A$, $\{1, -1\}$ \_\_\_\_ $A$; + (3) $\{x|x$是菱形$\}$ \_\_\_\_ $\{x|x$是平行四边形$\}$; + $\{x|x$是等腰三角形$\}$ \_\_\_\_ $\{x|x$是等边三角形$\}$. + +

2. 指出下列各集合之间的关系,并用Venn 图表示:

+ $A=\{x|x$是四边形$\}$, $B=\{x|x$是平行四边形$\}$, $C=\{x|x$是矩形$\}$, $D=\{x|x$是正方形$\}$. +
+ +
+

综合运用图标 综合运用

+

3. 举出下列各集合的一个子集:

+ (1) $A=\{x|x$是立德中学的学生$\}$; + (2) $B=\{x|x$是三角形$\}$; + (3) $C=\{0\}$; + (4) $D=\{x \in\mathbf{Z}|34. 在平面直角坐标系中,集合 $C=\{(x,y)|y=x\}$表示直线$y=x$,从这个角度看,集合 $D=$ + $(x, y) \left| \begin{cases} 2x-y=1 \\ x+4y=5 \end{cases} \right.$ 表示什么?集合$C,D$之间有什么关系?

+
+ +
+

拓广探索图标 拓广探索

+

5.(1)设$a, b\in\mathbf{R}$, $P=\{1, a\}$, $Q=\{-1,-b\}$,若$P=Q$,求$a-b$的值;

+

(2)已知集合$A=\{x|0 +

+ +第一章 集合与常用逻辑用语 9 + + + +## 1.3 集合的基本运算 + +### 并集 + +我们知道，实数有加、减、乘、除等运算，集合是否也有类似的运算呢？ + +> **● 观察** +> +> 观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合 $C$ 与集合 $A, B$ 之间的关系吗？ +> +> (1) $A=\{1,3,5\}, B=\{2, 4, 6\}, C=\{1,2,3,4,5,6\}$; +> (2) $A=\{x|x$ 是有理数$\}, B=\{x|x$ 是无理数$\}, C=\{x|x$ 是实数$\}$. + +在上述两个问题中，集合 $A, B$ 与集合 $C$ 之间都具有这样一种关系：集合 $C$ 是由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的。 + +一般地，由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为集合 $A$ 与 $B$ 的**并集** (union set)，记作 $A \cup B$ (读作“A并B”)，即 + +$$A \cup B=\{x|x \in A \text{, 或 } x \in B\},$$ + +可用Venn图(图1.3-1)表示。 + +[图片描述:Venn图，展示了两个集合A和B的并集。图中A和B是两个相互重叠的圆形区域，整个重叠和非重叠区域都被着色，代表了A和B的所有元素。下方标注“AUB”|Venn图：集合的并集|图1.3-1] + +这样，在问题(1)(2)中，集合 $A$ 与 $B$ 的并集是 $C$，即 + +$$A \cup B=C.$$ + +**例1** 设 $A=\{4, 5, 6, 8\}, B=\{3, 5, 7, 8\}$，求 $A \cup B$. +**解:** $A \cup B=\{4,5,6,8\} \cup \{3,5,7,8\}$ +$=\{3,4,5,6,7,8\}.$ + +**例2** 设集合 $A=\{x|-1 在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次，如元素5,8. + +10 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +如图1.3-2, 还可以利用数轴直观表示例2中求并集$A \cup B$的过程. + +[图片描述:数轴上表示了两个区间，分别为$[-1, 1)$和$[1, 3]$。区间$[-1, 3]$被整体阴影覆盖，表示了这两个区间的并集。数轴下方标有x轴及刻度-1, 0, 1, 2, 3。|数轴表示并集$A \cup B$|图1.3-2] + +> **思考** +> +> 下列关系式成立吗? +> (1) $A \cup A = A$; (2) $A \cup \emptyset = A$. + +## 交集 + +> **思考** +> +> 观察下面的集合, 集合$A, B$与集合$C$之间有什么关系? +> (1) $A=\{2, 4, 6, 8, 10\}$, $B=\{3, 5, 8, 12\}$, $C=\{8\}$; +> (2) $A=\{x|x \text{是立德中学今年在校的女同学}\}$, $B=\{x|x \text{是立德中学今年在校的高一年级同学}\}$, $C=\{x|x \text{是立德中学今年在校的高一年级女同学}\}$. + +在上述两个问题中, 集合$C$是由所有既属于集合$A$ 又属于集合$B$的元素组成的. + +一般地, 由所有属于集合 $A$且属于集合$B$的元素组成的集合, 称为集合$A$与$B$的**交集** (intersection set), 记作 $A \cap B$ (读作“$A$交$B$”), 即 +$$A \cap B=\{x | x \in A, \text{且} x \in B\}$$ +可用 Venn图(图1.3-3)表示, +这样, 在上述问题(1)(2)中, $A \cap B = C$. + +[图片描述:一个Venn图，包含两个相互重叠的椭圆形，分别标记为A和B。两个椭圆形重叠的部分被阴影覆盖，并标有“$A \cap B$”，表示集合A和集合B的交集。|Venn图表示交集$A \cap B$|图1.3-3] + +**例3** 立德中学开运动会, 设 +$A=\{x|x \text{是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}\}$, +$B=\{x|x \text{是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}\}$, +求$A \cap B$. + +**解**: $A \cap B$就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合, 所以, +$A \cap B=\{x|x \text{是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}\}$. + +第一章 集合与常用逻辑用语 11 + + + +**例4** 设平面内直线 $l_1$ 上点的集合为 $L_1$, 直线 $l_2$ 上点的集合为 $L_2$, 试用集合的运算表示 $l_1, l_2$ 的位置关系. + +**解:** 平面内直线 $l_1, l_2$ 可能有三种位置关系, 即相交于一点、平行或重合. + +(1) 直线 $l_1, l_2$ 相交于一点 $P$ 可表示为 +$$L_1 \cap L_2 = \{\text{点} P\}$$ + +(2) 直线 $l_1, l_2$ 平行可表示为 +$$L_1 \cap L_2 = \emptyset$$ + +(3) 直线 $l_1, l_2$ 重合可表示为 +$$L_1 \cap L_2 = L_1 = L_2$$ + +--- + +**❓ 思考** + +下列关系式成立吗? +(1) $A \cap A = A$; (2) $A \cap \emptyset = \emptyset$. + +--- + +## 练习 + +1. 设 $A=\{3, 5, 6, 8\}$, $B=\{4, 5, 7, 8\}$, 求 $A \cap B$, $A \cup B$. +2. 设 $A=\{x|x^2-4x-5=0\}$, $B=\{x|x^2=1\}$, 求 $A \cup B$, $A \cap B$. +3. 设 $A=\{x|x \text{是等腰三角形}\}$, $B=\{x|x \text{是直角三角形}\}$, 求 $A \cap B$, $A \cup B$. +4. 设 $A=\{x|x \text{是幸福农场的汽车}\}$, $B=\{x|x \text{是幸福农场的货车}\}$, 求 $A \cap B$, $A \cup B$. + +--- + +## 补集 + +在研究问题时, 我们经常需要确定研究对象的范围. + +例如, 从小学到初中, 数的研究范围逐步地由自然数到正分数, 再到有理数, 引进无理数后, 数的研究范围扩充到实数. 在高中阶段, 数的研究范围将进一步扩充. + +在不同范围研究同一个问题, 可能有不同的结果. 例如方程 $(x-2)(x^2-3)=0$ 的解集, 在有理数范围内只有一个解 $2$, 即 +$$\{x \in \mathbb{Q}|(x-2)(x^2-3)=0\}=\{2\}$$ + +在实数范围内有三个解: $2, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$, 即 +$$\{x \in \mathbb{R}|(x-2)(x^2-3)=0\}=\{2, \sqrt{3}, -\sqrt{3}\}$$ + +一般地, 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为**全集** (universal set), 通常记作 $U$. + +> 通常也把给定的集合作为全集. + +12 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +对于一个集合$A$, 由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的**补集** (complementary set), 简称为集合$A$的补集, 记作$C_UA$, 即 +$$C_UA=\{x|x\in U, \text{且}x\notin A\}$$ +可用 Venn图 (图1.3-4) 表示。 + +[图片描述:一个矩形代表全集U，内部有一个圆形代表集合A。矩形区域（除圆形A之外的部分）被填充为浅蓝色，圆形A内部是白色。浅蓝色区域标有$C_UA$。|补集Venn图|图1.3-4] + +**例5** 设$U=\{x|x$是小于9的正整数$\}$, $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{3,4,5,6\}$, 求$C_UA$, $C_UB$. +**解**: 根据题意可知, $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, 所以 +$C_UA=\{4,5,6,7,8\}$, +$C_UB=\{1,2,7,8\}$. + +**例6** 设全集$U=\{x|x$是三角形$\}$, $A=\{x|x$是锐角三角形$\}$, $B=\{x|x$是钝角三角形$\}$, 求$A\cap B$, $C_U(A\cup B)$. +**解**: 根据三角形的分类可知 +$A\cap B=\emptyset$, +$A\cup B=\{x|x$是锐角三角形或钝角三角形$\}$, +$C_U(A\cup B)=\{x|x$是直角三角形$\}$. + +--- + +### 练习 + +1. 已知$U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A=\{2, 4, 5\}$, $B=\{1,3,5,7\}$, 求$A\cap(C_UB)$, $(C_UA)\cap(C_UB)$. +2. 设$S=\{x|x$是平行四边形或梯形$\}$, $A=\{x|x$是平行四边形$\}$, $B=\{x|x$是菱形$\}$, $C=\{x|x$是矩形$\}$, 求$B\cap C$, $C_AB$, $C_SA$. +3. 图中$U$是全集,$A$,$B$是$U$的两个子集,用阴影表示: + (1) $(C_UA)\cap(C_UB)$; + (2) $(C_UA)\cup(C_UB)$. + +[图片描述:一个矩形代表全集U，内部有两个相交的圆形，分别代表集合A和B。此图为待阴影表示集合运算的基础Venn图。|Venn图结构(1)|图3(1)] +[图片描述:一个矩形代表全集U，内部有两个相交的圆形，分别代表集合A和B。此图为待阴影表示集合运算的基础Venn图。|Venn图结构(2)|图3(2)] + +(第3题) + +--- + +第一章 集合与常用逻辑用语 13 + + + +## 习题 1.3 + +### 💡 复习巩固 + +1. 已知集合 $A=\{x|2 \le x < 4\}$, $B=\{x|3x-7 \ge 8-2x\}$，求 $A \cup B$， $A \cap B$。 +2. 设 $A=\{x|x \text{是小于9的正整数}\}$, $B=\{1, 2, 3\}$, $C=\{3,4,5,6\}$。求 $A \cap B$, $A \cap C$, $A \cap (B \cup C)$, $A \cup (B \cap C)$。 +3. 学校开运动会，设 $A=\{x|x \text{是参加100 m跑的同学}\}$, $B=\{x|x \text{是参加200 m跑的同学}\}$, $C=\{x|x \text{是参加400 m跑的同学}\}$。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛。请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义: + (1) $A \cup B$; + (2) $A \cap C$. + +### 🌐 综合运用 + +4. 已知集合 $A=\{x|3 \le x < 7\}$, $B=\{x|2 < x < 10\}$，求 $\complement_R(A \cup B)$, $\complement_R(A \cap B)$, $(\complement_R A) \cap B$, $A \cup (\complement_R B)$。 +5. 设 $a \in \mathbb{R}$，集合 $A=\{x|(x-3)(x-a)=0\}$, $B=\{x|(x-4)(x-1)=0\}$，求 $A \cup B$, $A \cap B$。 + +### 🚀 拓广探索 + +6. 已知全集 $U=A \cup B=\{x \in \mathbb{N}|0 \le x \le 10\}$, $A \cap (\complement_U B)=\{1,3,5,7\}$，试求集合 $B$。 + +14 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +## ● 阅读与思考 + +### 集合中元素的个数 + +在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合 $A$ 叫做有限集，用 $card(A)$ 来表示有限集合 $A$ 中元素的个数。例如，$A=\{a,b,c\}$，则 $card(A)=3$。 + +> **小贴士：** $card$ 是英文 $cardinal$ (基数)的缩写。 + +看一个问题。某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ + +回答两次一共进了10$(=6+4)$种，显然是不对的。让我们试着从集合的角度考虑这个问题。 + +用集合 $A$ 表示第一次进货的品种，用集合 $B$ 表示第二次进货的品种，就有 +$A=\{$圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水$\}$, +$B=\{$圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面$\}$. + +这里 $card(A)=6$, $card(B)=4$。求两次一共进了几种货，这个问题指的是求 $card(A \cup B)$。这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是 $card(A \cap B)$。$card(A)$, $card(B)$, $card(A \cup B)$, $card(A \cap B)$ 之间有什么关系呢？ + +可以算出 +$card(A \cup B)=8$, +$card(A \cap B)=2$. + +一般地，对任意两个有限集合 $A$, $B$, 有 +$card(A \cup B)=card(A)+card(B)-card(A \cap B)$. + +再来看一个问题。学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ + +用集合 $A$ 表示田径运动会参赛的学生，用集合 $B$ 表示球类运动会参赛的学生，就有 +$A=\{x \mid x \text{是田径运动会参赛的学生}\}$, +$B=\{x \mid x \text{是球类运动会参赛的学生}\}$, + +那么 + +第一章 集合与常用逻辑用语 15 + + + +$A \cap B = \{x | x \text{是两次运动会都参赛的学生}\}$, +$A \cup B = \{x | x \text{是所有参赛的学生}\}$, +$$ +\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) +$$ +$$ += 8 + 12 - 3 = 17. +$$ +所以,在两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. +我们也可以用 Venn 图来求解. + +[图片描述:一个Venn图，包含两个重叠的椭圆，分别标记为A和B。重叠区域标记为A∩B。A圆圈的非重叠部分内部有一个左括号'('。重叠区域的右侧内部有一个左括号'('，旁边是数字'5)'。B圆圈的非重叠部分内部有一个数字'3)'。|Venn图解|图18-1] + +在上图中相应于$A \cap B$ 的区域里先填上3[^1] ($\text{card}(A \cap B)=3$),再在 A 中不包括$A \cap B$ 的区域里填上5($\text{card}(A)-\text{card}(A \cap B)=5$),在B中不包括$A \cap B$的区域里填上9($\text{card}(B)-\text{card}(A \cap B)=9$).最后把这三个数加起来得17,这就是 $\text{card}(A \cup B)$. + +这种图解法对于解比较复杂的问题(例如涉及三个以上集合的并、交的问题)更能显示出它的优越性.对于有限集合$A, B, C$,你能发现$\text{card}(A \cup B \cup C)$,$\text{card}(A)$, $\text{card}(B)$, $\text{card}(C)$, $\text{card}(A \cap B)$, $\text{card}(B \cap C)$, $\text{card}(A \cap C)$, $\text{card}(A \cap B \cap C)$之间的关系吗?通过一个具体的例子,算一算. +有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合,如 +$$ +A=\{1, 2, 3, 4, \dots, n, \dots\}, +$$ +$$ +B=\{2, 4, 6, 8, \dots, 2n, \dots\}, +$$ +我们无法数出集合中元素的个数,但可以比较这两个集合中元素个数的多少,你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗? + +[^1]: 这里的3是表示元素的个数,而不是元素. 图中我们特别加上括号,另外两个数5,9也一样. + +16 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +# 1.4 充分条件与必要条件 + +在初中,我们已经对命题有了初步的认识. 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. 中学数学中的许多命题可以写成“若$p$,则$q$” “如果$p$,那么$q$”等形式,其中$p$称为命题的条件,$q$称为命题的结论. 本节主要讨论这种形式的命题,下面我们将进一步考察“若$p$,则$q$”形式的命题中$p$和$q$的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. + +## 1.4.1 充分条件与必要条件 + +> ③ **思考** +> +> 下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? +> (1) 若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; +> (2) 若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; +> (3) 若$x^2-4x+3=0$,则 $x=1$; +> (4) 若平面内两条直线$a$和$b$均垂直于直线$l$,则$a//b$. + +在命题(1)(4)中,由条件$p$通过推理可以得出结论$q$,所以它们是真命题. 在命题(2)(3)中,由条件$p$不能得出结论$q$,所以它们是假命题. + +一般地,“若$p$,则$q$”为真命题,是指由$p$通过推理可以得出$q$. 这时,我们就说,由$p$可以推出$q$,记作 + +$p \Rightarrow q$, + +并且说,$p$是$q$的**充分条件**(sufficient condition),$q$是$p$的**必要条件** (necessary condition). + +如果“若$p$,则$q$”为假命题,那么由条件$p$不能推出结论$q$,记作$p \not\Rightarrow q$. 此时,我们就说$p$不是$q$的充分条件,$q$不是$p$的必要条件. + +上述命题(1)(4)中的$p$是$q$的充分条件,$q$是$p$的必 + +> 侧边提示框: +> ① 此时,如果$q$不成立,则$p$一定不成立. 所以,$q$对于$p$成立而言是必要的. 请举例说明. + +第一章 集合与常用逻辑用语 17 + + + +要条件,而命题(2)(3)中的$p$不是$q$的充分条件,$q$不是$p$的必要条件. + +**例1** 下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,哪些命题中的$p$是$q$的充分条件? + +(1) 若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; +(2) 若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; +(3) 若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; +(4) 若$x^2=1$,则$x=1$; +(5) 若$a=b$,则$ac=bc$; +(6) 若$x,y$为无理数,则$xy$为无理数. + +**解:** +(1) 这是一条平行四边形的判定定理,$p \Rightarrow q$,所以$p$是$q$的充分条件. +(2) 这是一条相似三角形的判定定理,$p \Rightarrow q$,所以$p$是$q$的充分条件. +(3) 这是一条菱形的性质定理,$p \Rightarrow q$,所以$p$是$q$的充分条件. +(4) 由于$(-1)^2=1$,但$-1 \neq 1$,$p \nRightarrow q$,所以$p$不是$q$的充分条件. +(5) 由等式的性质知,$p \Rightarrow q$,所以$p$是$q$的充分条件. +(6) $\sqrt{2}$为无理数,但$\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$为有理数,$p \nRightarrow q$,所以$p$不是$q$的充分条件. + +[图片描述:一个带有问号和“思考”标题的蓝色方框，包含关于充分条件唯一性的讨论。|思考|思考框] +> **? 思考** +> 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”,这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? + +[图片描述:一个浅蓝色矩形边框的提示框，内容是“举反例是判断一个命题是假命题的重要方法。”|提示|举反例提示框] +> 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法. + +我们说$p$是$q$的充分条件,是指由条件$p$可以推出结论$q$,但这并不意味着只能由这个条件$p$才能推出结论$q$.一般来说,对给定结论$q$,使得$q$成立的条件$p$是不唯一的.例如,我们知道,下列命题均为真命题: + +①若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; +②若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; +③若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形. + +所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. +事实上,例1中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理,所以,平 + +18 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + + +平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形。类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”。一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 + +**例2** 下列“若 $p$，则 $q$”形式的命题中，哪些命题中的 $q$ 是 $p$ 的必要条件？ +(1) 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； +(2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； +(3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； +(4) 若 $x=1$，则 $x^2=1$； +(5) 若 $ac=bc$，则 $a=b$； +(6) 若 $xy$ 为无理数，则 $x, y$ 为无理数。 + +**解：** +(1) 这是平行四边形的一条性质定理，$p \Rightarrow q$，所以，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 +(2) 这是三角形相似的一条性质定理，$p \Rightarrow q$，所以，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 +(3) 如图 1.4-1，四边形 $ABCD$ 的对角线互相垂直，但它不是菱形，$p \not\Rightarrow q$，所以，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。 +[图片描述: 这是一个四边形ABCD，其对角线AC和BD互相垂直。交叉点标有直角符号。|四边形对角线互相垂直示意图|图1.4-1] +(4) 显然，$p \Rightarrow q$，所以，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 +(5) 由于 $(-1) \times 0 = 1 \times 0$，但 $-1 \neq 1$，$p \not\Rightarrow q$，所以，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。 +(6) 由于 $1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$ 为无理数，但 $1, \sqrt{2}$ 不全是无理数，$p \not\Rightarrow q$，所以，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。 + +一般地，要判断“若 $p$，则 $q$”形式的命题中 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，只需判断是否有“$p \Rightarrow q$”，即“若 $p$，则 $q$”是否为真命题。 + +> ### ❓ 思考 +> +> 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”，这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ + +我们说 $q$ 是 $p$ 的必要条件，是指以 $p$ 为条件可以推出结论 $q$，但这并不意味着由条件 $p$ 只能推出结论 $q$。一般来说，给定条件 $p$，由 $p$ 可以推出的结论 $q$ 是不唯一的。例如，下列命题都是真命题： +① 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； +② 若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； + +第一章 集合与常用逻辑用语 19 + + + +③若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分. +这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. +我们知道,例2中命题(1)及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”. +一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. + +## 练习 + +1. 下列“若 $p$, 则 $q$”形式的命题中, 哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件? + (1) 若平面内点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上, 则 $PA=PB$; + (2) 若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等, 则这两个三角形全等; + (3) 若两个三角形相似, 则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. +2. 下列“若 $p$, 则 $q$”形式的命题中, 哪些命题中的 $q$ 是 $p$ 的必要条件? + (1) 若直线 $l$ 与 $\odot O$ 有且仅有一个交点, 则 $l$ 为 $\odot O$ 的一条切线; + (2) 若 $x$ 是无理数, 则 $x^2$ 也是无理数. +3. 如图, 直线 $a$ 与 $b$ 被直线 $l$ 所截, 分别得到了 $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ 和 $\angle 4$. 请根据这些信息, 写出几个“$a // b$”的充分条件和必要条件. + +[图片描述:两条平行线 $a$ 和 $b$ 被一条斜线 $l$ 截断。在直线 $a$ 和 $l$ 的交点处，从左上角开始顺时针方向标记了 $\angle 4$（左上）、$\angle 3$（左下）、$\angle 2$（右下）。在直线 $b$ 和 $l$ 的交点处，右下角标记了 $\angle 1$。|直线被截图形|第3题图] + +## 1.4.2 充要条件 + +> **③ 思考** +> +> 下列“若 $p$, 则 $q$”形式的命题中, 哪些命题与它们的逆命题都是真命题? +> (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等, 则这两个三角形全等; +> (2) 若两个三角形全等, 则这两个三角形的周长相等; +> (3) 若一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根, 则 $ac<0$; +> (4) 若 $A \cup B$ 是空集, 则 $A$ 与 $B$ 均是空集. + +不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题 +都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题; +命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题. +如果“若 $p$, 则 $q$”和它的逆命题“若 $q$, 则 $p$”均是 +真命题,即既有 $p \Rightarrow q$, 又有 $q \Rightarrow p$, 就记作 + +> 将命题“若 $p$, 则 $q$” +> 中的条件 $p$ 和结论 $q$ 互 +> 换, 就得到一个新的命题 +> “若 $q$, 则 $p$”, 称这个命 +> 题为原命题的逆命题. + +20 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +$$p \Leftrightarrow q.$$ + +此时，$p$ 既是 $q$ 的充分条件，也是 $q$ 的必要条件，我们说 $p$ 是 $q$ 的**充分必要条件**，简称为**充要条件** (necessary and sufficient condition). 显然，如果 $p$ 是 $q$ 的充要条件，那么 $q$ 也是 $p$ 的充要条件。 + +概括地说，如果 $p \Leftrightarrow q$，那么 $p$ 与 $q$ 互为充要条件. 上述命题 (1)(4) 中的 $p$ 与 $q$ 互为充要条件。 + +**例3** 下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件? +(1) $p$: 四边形是正方形，$q$: 四边形的对角线互相垂直且平分; +(2) $p$: 两个三角形相似，$q$: 两个三角形三边成比例; +(3) $p$: $xy>0$，$q$: $x>0$, $y>0$; +(4) $p$: $x=1$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根，$q$: $a+b+c=0$ ($a \neq 0$). + +**解:** +(1) 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形 (为什么)，所以 $q \not\Rightarrow p$，所以 $p$ 不是 $q$ 的充要条件。 +(2) 因为“若 $p$，则 $q$”是相似三角形的性质定理，“若 $q$，则 $p$”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 $p \Leftrightarrow q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。 +(3) 因为 $xy>0$ 时，$x>0$, $y>0$ 不一定成立 (为什么)，所以 $p \not\Leftrightarrow q$，所以 $p$ 不是 $q$ 的充要条件。 +(4) 因为“若 $p$，则 $q$”与“若 $q$，则 $p$”均为真命题，即 $p \Leftrightarrow q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。 + +> **探究** +> 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗? + +可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件。 + +另外，我们再看平行四边形的定义: +两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形, +它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件。 + +上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式，例如: +两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形; +对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. + +类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义 + +第一章 集合与常用逻辑用语 21 + + + +形式, 而且这些定义是相互等价的; 同样, 利用“两个三角形相似”的充要条件, 可以给出“相似三角形”其他定义形式, 这些定义也是相互等价的; 等等. + +**例4** 已知: $\text{☉}O$ 的半径为 $r$, 圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$. 求证: $d=r$ 是直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 相切的充要条件. + +**分析:** 设 $p: d=r$, $q:$ 直线 $l$ 与 $\text{⊙}O$ 相切. 要证 $p$ 是 $q$ 的充要条件, 只需分别证明充分性 ($p \Rightarrow q$) 和必要性 ($q \Rightarrow p$) 即可. + +**证明:** 设 $p: d=r$, $q:$ 直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 相切. + +(1) 充分性 ($p \Rightarrow q$): 如图 1.4-2, 作 $OP \perp l$ 于点 $P$, 则 $OP=d$. 若 $d=r$, 则点 $P$ 在 $\text{☉}O$ 上. 在直线 $l$ 上任取一点 $Q$ (异于点 $P$), 连接 $OQ$. 在 $\text{Rt}\triangle OPQ$ 中, $OQ > OP=r$. 所以, 除点 $P$ 外直线 $l$ 上的点都在 $\text{⊙}O$ 的外部, 即直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 仅有一个公共点 $P$. 所以直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 相切. + +[图片描述:一个圆形（圆心O）和一条直线l。从圆心O向直线l作垂线，垂足为P，垂线段的长度即为圆心到直线的距离d。圆的半径为r。直线上另有一点Q，连接OQ。图示展示了直线l与圆O相切且d=r的情况。|圆与直线相切的几何示意图|图1.4-2] + +(2) 必要性 ($q \Rightarrow p$): 若直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 相切, 不妨设切点为 $P$, 则 $OP \perp l$. 因此, $d=OP=r$. + +由 (1)(2) 可得, $d=r$ 是直线 $l$ 与 $\text{☉}O$ 相切的充要条件. + +--- + +### 练习 + +1. 下列各题中, 哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件? + (1) $p$: 三角形为等腰三角形, $q$: 三角形存在两角相等; + (2) $p$: $\text{☉}O$ 内两条弦相等, $q$: $\text{☉}O$ 内两条弦所对的圆周角相等; + (3) $p$: $A \cap B$ 为空集, $q$: $A$ 与 $B$ 之一为空集. +2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. +3. 证明: 如图, $AC=BD$ 是梯形 $ABCD$ 为等腰梯形的充要条件. + +[图片描述:一个梯形ABCD，其中AD平行于BC。对角线AC和BD用蓝色虚线连接。|梯形ABCD对角线示意图|第3题] + +--- + +### 习题 1.4 + +### 复习巩固 + +1. 举例说明: + (1) $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件; + (2) $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件; + (3) $p$ 是 $q$ 的充要条件. +2. 在下列各题中, 判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件 (请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答): + +22 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +(1) $p$:三角形是等腰三角形, $q$:三角形是等边三角形; +(2) $p$:一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实数根, $q$:$b^2-4ac\ge0$ ($a\neq0$); +(3) $p$: $a\in P\cap Q$, $q$: $a\in P$; +(4) $p$:$a\in P\cup Q$, $q$: $a\in P$; +(5) $p$: $x>y$, $q$: $x^2>y^2$. +3. 判断下列命题的真假: +(1) 点$P$到圆心$O$的距离大于圆的半径是点$P$在$\odot O$外的充要条件; +(2) 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; +(3) $A\cup B=A$ 是 $B\subseteq A$ 的必要不充分条件; +(4) $x$或$y$为有理数是$xy$为有理数的既不充分也不必要条件. + +**综合运用** + +4. 已知$A=\{x|x满足条件p\}$, $B=\{x|x满足条件q\}$, +(1) 如果$A\subseteq B$,那么$p$是$q$的什么条件? +(2) 如果$B\subseteq A$,那么$p$是$q$的什么条件? +(3) 如果$A=B$,那么$p$是$q$的什么条件? +5. 设$a,b,c\in\mathbf{R}$. 证明: $a=b=c$ 是$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$的充要条件. + +**拓广探索** + +6. 设$a,b,c$分别是$\triangle ABC$的三条边,且$a\le b\le c$.我们知道,如果$\triangle ABC$ 为直角三角形,那 +么$a^2+b^2=c^2$(勾股定理),反过来,如果$a^2+b^2=c^2$,那么$\triangle ABC$为直角三角形(勾股定理 +的逆定理),由此可知,$a^2+b^2=c^2$是$\triangle ABC$为直角三角形的充要条件. +请利用边长$a,b,c$分别给出$\triangle ABC$为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. + +第一章 集合与常用逻辑用语 23 + + + + +## ❓ 阅读与思考 + +### 几何命题与充分条件、必要条件 + +通过前面的学习我们发现,对于一种几何图形或几何图形之间的关系,可以通过充要条件给出它的等价定义,通过充分条件给出它的判定定理,通过必要条件给出它的性质定理,利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题,可以促进我们更深入地理解几何图形及其关系.下面以相似三角形为例进行说明. + +为了方便,我们记 $q$: 两个三角形相似. + +1. **相似三角形的定义** + + 三角形的相似是三角形之间的一种关系,它的定义是:三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形. + + 记 $p$: 三个角分别相等且三条边成比例,因为 $p \Rightarrow q$, $q \Rightarrow p$,所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件. + + 三条边、三个内角是三角形的六个要素,相似三角形的定义从两个三角形各要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件. + +2. **相似三角形的判定** + + 相似三角形的判定指出了“满足什么条件的两个三角形相似”,初中学过如下判定定理: + + (1) 三边成比例的两个三角形相似; + (2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; + (3) 两角分别相等的两个三角形相似. + + 记 $p_1$: 三边成比例, $p_2$: 两边成比例且夹角相等, $p_3$: 两角分别相等, 我们有 $p_1 \Rightarrow q$, $p_2 \Rightarrow q$, $p_3 \Rightarrow q$,即 $p_1$, $p_2$, $p_3$ 分别给出了 $q$ 的一个充分条件. + + 上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出了相似三角形的充分条件.事实上,我们还可以给出相似三角形的其他充分条件,例如“相似于同一个三角形的两个三角形相似”(这表明,“相似”具有传递性). + + 利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形. + + **想一想**: (1) 你能给出相似三角形的其他充分条件吗?(2) 利用判定定理可以判定两个三角形**不是**相似三角形吗?为什么? + +3. **相似三角形的性质** + + 相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件. 换言之,如果不满足这个条件,那么这两个三角形就一定不相似.在初中,我们学过的相似三角形性质定理有: + +24 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + + + +
+ +(1) 相似三角形对应线段的比都相等(等于相似比)，特别地，相似三角形的对应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等(等于相似比)； +(2) 相似三角形的对应角相等； +(3) 相似三角形周长的比等于对应边之比(相似比)； +(4) 相似三角形面积的比等于对应边之比的平方(相似比的平方)。 + +记$r_1$: 对应线段的比等于相似比，$r_2$: 对应角相等，$r_3$: 周长的比等于对应边之比，$r_4$: 面积的比等于对应边之比的平方，我们有 $q \Rightarrow r_1, q \Rightarrow r_2, q \Rightarrow r_3, q \Rightarrow r_4$，即$r_1, r_2, r_3, r_4$分别给出了$q$的一个必要条件。例如，如果$r_1$不成立，即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似。因此，利用性质定理可以判定两个三角形**不是**相似三角形。 + +想一想: 利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗?为什么? + +以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方面给出了相似三角形的必要条件。你能给出相似三角形的其他必要条件吗? + +分析上述命题，可以发现，有些条件是$q$的充要条件，例如$p_1(r_1), p_2, p_3(r_2)$，据此可以构造出相似三角形的等价定义: + +(1) 三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； +(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形； +(3) 两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形。 + +由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试一试吗? + +请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形(矩形、菱形、正方形)等图形的知识进行梳理。 + +
+ +第一章 集合与常用逻辑用语 25 + + + +## 1.5 全称量词与存在量词 + +我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定。 + +### 1.5.1 全称量词与存在量词 + +> **思考** +> +> 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ +> (1) $x>3$; +> (2) $2x+1$是整数; +> (3) 对所有的$x \in \mathbf{R}, x>3$; +> (4) 对任意一个$x \in \mathbf{Z}, 2x+1$是整数. + +语句(1)(2)中含有变量$x$，由于不知道变量$x$代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题。语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量$x$进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量$x$进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题。 + +短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做**全称量词** (universal quantifier)，并用符号“$\forall$”表示。含有全称量词的命题，叫做**全称量词命题**。例如，命题“对任意的$n \in \mathbf{Z}, 2n+1$是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。 +> 常见的全称量词还有 +> “一切”“每一个”“任 +> 给”等。 + +通常，将含有变量$x$的语句用$p(x), q(x), r(x), \dots$表示，变量$x$的取值范围用$M$表示。那么，全称量词命题“对$M$中任意一个$x, p(x)$成立”可用符号简记为 +$$ \forall x \in M, p(x). $$ + +26 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +**例1** 判断下列全称量词命题的真假: +1. 所有的素数$^1$都是奇数; +2. $\forall x \in \mathbf{R}, |x|+1 \ge 1$; +3. 对任意一个无理数 $x$, $x^2$ 也是无理数. + +> **①** 如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数。 + +**分析:** 要判定全称量词命题“$\forall x \in M, p(x)$”是真命题，需要对集合 $M$ 中每个元素 $x$，证明 $p(x)$ 成立；如果在集合 $M$ 中找到一个元素 $x_0$，使 $p(x_0)$ 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。$^2$ + +> **②** 这个方法就是“举反例”。 + +**解:** +1. 2是素数，但2不是奇数。所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题。 +2. $\forall x \in \mathbf{R}$，总有 $|x| \ge 0$，因而 $|x|+1 \ge 1$。所以，全称量词命题“$\forall x \in \mathbf{R}, |x|+1 \ge 1$”是真命题。 +3. $\sqrt{2}$ 是无理数，但 $(\sqrt{2})^2 = 2$ 是有理数。所以，全称量词命题“对每一个无理数 $x$, $x^2$ 也是无理数”是假命题。 + +> **③ 思考** +> 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ +> 1. $2x+1=3$; +> 2. $x$ 能被2和3整除; +> 3. 存在一个 $x \in \mathbf{R}$，使 $2x+1=3$; +> 4. 至少有一个 $x \in \mathbf{Z}$，$x$ 能被2和3整除. + +容易判断，(1)(2)不是命题。语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量 $x$ 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量 $x$ 的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题。 + +短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做**存在量词**(existential quantifier)，并用符号“$\exists$”表示。含有存在量词的命题，叫做**存在量词命题**。 + +例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题。 + +存在量词命题“存在 $M$ 中的元素 $x$, $p(x)$ 成立”可用符号简记为 + +$$ \exists x \in M, p(x). $$ + +> 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。 + +第一章 集合与常用逻辑用语 27 + + + +**例2** 判断下列存在量词命题的真假: +(1) 有一个实数 $x$，使 $x^2+2x+3=0$; +(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; +(3) 有些平行四边形是菱形. + +**分析**: 要判定存在量词命题 “$\exists x \in M, p(x)$” 是真命题, 只需在集合 $M$ 中找到一个元素 $x$, 使 $p(x)$ 成立即可; 如果在集合 $M$ 中, 使 $p(x)$ 成立的元素 $x$ 不存在, 那么这个存在量词命题是假命题. + +**解**: +(1) 由于 $\triangle=2^2-4 \times 3=-8<0$, 因此一元二次方程 $x^2+2x+3=0$ 无实根. 所以, 存在量词命题 “有一个实数 $x$, 使 $x^2+2x+3=0$” 是假命题. +(2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线, 所以, 存在量词命题 “平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线” 是假命题. +(3) 由于正方形既是平行四边形又是菱形, 所以存在量词命题 “有些平行四边形是菱形” 是真命题. + +## 练习 + +1. 判断下列全称量词命题的真假: + (1) 每个四边形的内角和都是 $360^\circ$; + (2) 任何实数都有算术平方根; + (3) $\forall x \in \{y|y \text{是无理数}\}, x^3 \text{是无理数}$. +2. 判断下列存在量词命题的真假: + (1) 存在一个四边形, 它的两条对角线互相垂直; + (2) 至少有一个整数 $n$, 使得 $n^2+n$ 为奇数; + (3) $\exists x \in \{y|y \text{是无理数}\}, x^2 \text{是无理数}$. + +## 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 + +一般地, 对一个命题进行否定, 就可以得到一个新的命题, 这一新命题称为原命题的否定. 例如, “56是7的倍数” 的否定为 “56不是7的倍数”, “空集是集合 $A=\{1,2,3\}$ 的真子集” 的否定为 “空集不是集合 $A=\{1,2,3\}$ 的真子集”. 下面, 我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定, 以及利用全称量词对存在量词命题进行否定. + +> 一个命题和它的否定 不能同时为真命题, 也不能同时为假命题, 只能一真一假. + +28 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +## 探究 + +写出下列命题的否定： +(1) 所有的矩形都是平行四边形； +(2) 每一个素数都是奇数； +(3) $\forall x \in \mathbf{R}, x+|x|\ge 0$. +它们与原命题在形式上有什么变化？ + +上面三个命题都是全称量词命题，即具有“$\forall x \in M, p(x)$”的形式，其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说， +存在一个矩形不是平行四边形； +命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说， +存在一个素数不是奇数； +命题(3)的否定是“并非所有的$x \in \mathbf{R}, x+|x|\ge 0$”，也就是说， +$\exists x \in \mathbf{R}, x+|x|<0$. +从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。 +一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可，也就是说，假定全称量词命题为“$\forall x \in M, p(x)$”，则它的否定为“并非$\forall x \in M, p(x)$”，也就是“$\exists x \in M, p(x)$不成立”.通常，用符号“$\neg p(x)$”表示“$p(x)$不成立”. +对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： +全称量词命题： +$\forall x \in M, p(x)$, +它的否定： +$\exists x \in M, \neg p(x)$. +也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. + +**例3** 写出下列全称量词命题的否定： +(1) 所有能被3整除的整数都是奇数； +(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； +(3) 对任意$x \in \mathbf{Z}$, $x^2$的个位数字不等于3. +**解：** (1) 该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. +(2) 该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. +(3) 该命题的否定：$\exists x \in \mathbf{Z}, x^2$的个位数字等于3. + +第一章 集合与常用逻辑用语 29 + + + +
+

◒ 探究

+

写出下列命题的否定:

+
    +
  1. 存在一个实数的绝对值是正数;
    2. +
  2. 有些平行四边形是菱形;
    3. +
  3. $\exists x \in \mathbf{R}, x^2-2x+3=0$.
    4. +
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它们与原命题在形式上有什么变化?

+
+ +
+ +这三个命题都是存在量词命题,即具有“$\exists x \in M, p(x)$”的形式,其中命题 (1) 的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说, + +所有实数的绝对值都不是正数; + +命题 (2) 的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说, + +每一个平行四边形都不是菱形; + +命题 (3) 的否定是“不存在 $x \in \mathbf{R}, x^2-2x+3=0$”,也就是说, + +$$\forall x \in \mathbf{R}, x^2-2x+3 \neq 0.$$ + +从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题。 + +一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可,也就是说,假定存在量词命题为“$\exists x \in M, p(x)$”,则它的否定为“不存在 $x \in M$, 使 $p(x)$ 成立”,也就是“$\forall x \in M, p(x)$ 不成立”。 + +对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: + +**存在量词命题:** +$$\exists x \in M, p(x),$$ + +**它的否定:** +$$\forall x \in M, \neg p(x).$$ + +也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题。 + +**例4** 写出下列存在量词命题的否定: + +(1) $\exists x \in \mathbf{R}, x+2 \le 0$; +(2) 有的三角形是等边三角形; +(3) 有一个偶数是素数. + +**解**:(1)该命题的否定: $\forall x \in \mathbf{R}, x+2>0$. +(2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形. +(3)该命题的否定:任意一个偶数都不是素数. + +30 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +**例 5** 写出下列命题的否定,并判断真假: +(1) 任意两个等边三角形都相似; +(2) $\exists x \in \mathbf{R}, x^2-x+1=0.$ + +**解:** +(1) 该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似,因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似,因此这是一个假命题. +(2) 该命题的否定:$\forall x \in \mathbf{R}, x^2-x+1 \neq 0.$ 因为对任意 $x \in \mathbf{R},$ +$$x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0,$$ +所以这是一个真命题. + +## 练习 + +1. 写出下列命题的否定: + (1) $\forall n \in \mathbf{Z}, n \in \mathbf{Q};$ + (2) 任意奇数的平方还是奇数; + (3) 每个平行四边形都是中心对称图形. +2. 写出下列命题的否定: + (1) 有些三角形是直角三角形; + (2) 有些梯形是等腰梯形; + (3) 存在一个实数,它的绝对值不是正数. + +### 习题 1.5 + +## 复习巩固 + +1. 判断下列全称量词命题的真假: + (1) 每一个末位是$0$的整数都是$5$的倍数; + (2) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; + (3) 对任意负数$x$, $x$的平方是正数; + (4) 梯形的对角线相等. +2. 判断下列存在量词命题的真假: + (1) 有些实数是无限不循环小数; + (2) 存在一个三角形不是等腰三角形; + (3) 有些菱形是正方形; + (4) 至少有一个整数$n$, $n^2+1$是$4$的倍数. +3. 写出下列命题的否定: + (1) $\forall x \in \mathbf{Z}, |x| \in \mathbf{N};$ + +第一章 集合与常用逻辑用语 31 + + + +(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0; +(3) $\exists x \in \mathbf{R}, x+1 \geq 0$; +(4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直. + +## 综合运用 + +4. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定: + (1) 平面直角坐标系下每条直线都与$x$轴相交; + (2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形; + (3) 存在一个三角形，它的内角和小于$180^\circ$; + (4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. +5. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定: + (1) 平行四边形的对角线互相平分; + (2) 三个连续整数的乘积是6的倍数; + (3) 三角形不都是中心对称图形; + (4) 一元二次方程不总有实数根. + +## 拓广探索 + +6. 在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题 + 只能一真一假，不能同真或同假. + 在数学中，有很多“若$p$，则$q$”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题，例如: + ① 若$x \geq 1$，则$2x+1>5$; (假命题) + ② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等. (真命题) + 这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题. + (1) 有人认为，①的否定是“若$x>1$，则$2x+1 \leq 5$”，②的否定是“若四边形为等腰梯形， + 则这个四边形的对角线不相等”，你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的 + 否定. + (2) 请你列举几个“若$p$，则$q$”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定， + 并判断真假. + +32 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + + +## 小结 + +### 一、本章知识结构 + +```mermaid +graph TD + A[集合] --> A1[集合的含义] + A --> A2[集合间的基本关系] + A --> A3[集合的运算] + + A2 --> A2a[包含] + A2 --> A2b[相等] + + A3 --> A3a[交集] + A3 --> A3b[并集] + A3 --> A3c[补集] + + B[常用逻辑用语] --> B1[充分条件] + B --> B2[必要条件] + B --> B3[充要条件] + B --> B4[全称量词] + B --> B5[存在量词] + B --> B6[全称量词命题和存在量词命题的否定] + + B1 --> B1a[判定定理] + B2 --> B2a[性质定理] + B3 --> B3a[数学定义] +``` + +### 二、回顾与思考 + +本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定。这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。 + +为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述方式，为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，这对提升我们的数学运算素养是很有意义的。在学习中，要注意“集合的含义与表示——集合的关系——集合的运算”这个研究路径。 + +常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具，结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养。 + +本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是要为整个高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们 + +第一章 集合与常用逻辑用语 33 + + + +能更好地适应高中数学学习。 +请你带着下面的问题, 复习一下全章的内容吧! +1. 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性, 你能结合例子说明这些特性吗? +2. 你能用集合表示平面内线段 $AB$ 的垂直平分线吗? 结合集合的描述法谈谈你的体会。 +3. 用联系的观点看问题, 可以使我们更深刻地理解数学知识。本章中, 我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算, 你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义? 你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗? +4. 对给定的 $p$ 和 $q$, 如何判定 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件? 你能举例说明吗? +5. 如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题? 你能举例说明吗? + +--- + +# 复习参考题 1 + +## 复习巩固 + +1. 用列举法表示下列集合: + (1) $A=\{x|x^2=9\}$; + (2) $B=\{x \in \mathbf{N}|1 \le x \le 2\}$; + (3) $C=\{x|x^2-3x+2=0\}$. +2. 设 $P$ 表示平面内的动点, 属于下列集合的点组成什么图形? + (1) $\{P | PA=PB\}$ ($A,B$ 是两个不同定点); + (2) $\{P | PO=3 \text{ cm}\}$ ($O$ 是定点). +3. 设平面内有 $\triangle ABC$, 且 $P$ 表示这个平面内的动点, 指出属于集合 $\{P|PA=PB\} \cap \{P|PA=PC\}$ 的点是什么. +4. 请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空: + (1) 三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_； + (2) $x \in A$ 是 $x \in A \cup B$ 的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_； + (3) $x \in A$ 是 $x \in A \cap B$ 的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_； + (4) $x,y$ 为无理数是 $x+y$ 为无理数的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 +5. 已知 $a,b,c$ 是实数, 判断下列命题的真假: + (1) “$a>b$”是“$a^2>b^2$”的充分条件; ( ) + (2) “$a>b$”是“$a^2>b^2$”的必要条件; ( ) + +34 第一章 集合与常用逻辑用语 + + + +(3) “$a>b$”是“$ac^2>bc^2$”的充分条件; ( ) +(4) “$a>b$”是“$ac^2>bc^2$”的必要条件. ( ) +6. 用符号“$\forall$”与“$\exists$”表示下列含有量词的命题,并判断真假: + (1) 任意实数的平方大于或等于0; + (2) 对任意实数$a$,二次函数$y=x^2+a$的图象关于$y$轴对称; + (3) 存在整数$x,y$,使得$2x+4y=3$; + (4) 存在一个无理数,它的立方是有理数. +7. 写出下列命题的否定,并判断它们的真假: + (1) $\forall a \in \mathbb{R}$, 一元二次方程$x^2-ax-1=0$有实根; + (2) 每个正方形都是平行四边形; + (3) $\exists m \in \mathbb{N}$, $\sqrt{m^2+1} \in \mathbb{N}$; + (4) 存在一个四边形$ABCD$,其内角和不等于$360^\circ$. + +**🌐 综合运用** + +8. 已知集合$A=\{(x, y)|2x-y=0\}$, $B=\{(x, y)|3x+y=0\}$, $C=\{(x,y)|2x-y=3\}$,求$A \cap B$, $A \cap C$,并解释它们的几何意义. +9. 已知集合$A=\{1, 3, a^2\}$, $B=\{1, a+2\}$,是否存在实数$a$,使得$A \cup B=A$?若存在,试求出实数$a$的值;若不存在,请说明理由. +10. 把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: + (1) 勾股定理; + (2) 三角形内角和定理. + +**💡 拓广探索** + +11. 学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? +12. 根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题: + (1) $1=1^2$, + $1+3=2^2$, + $1+3+5=3^2$, + $1+3+5+7=4^2$, + $1+3+5+7+9=5^2$, + ...... + + (2) 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$,$BE$与$CF$分别为$BC$,$AC$与$AB$边上的高,则$AD$,$BE$与$CF$所在的直线交于一点$O$. + [图片描述:一个三角形ABC，其中AD、BE、CF是分别从顶点A、B、C到对边BC、AC、AB的垂线（高）。这些垂线交于一点O。各高与对应边垂直处标有直角符号。|三角形的三条高线交点图|第12(2)题] + +第一章 集合与常用逻辑用语 35 \ No newline at end of file diff --git a/math_knowledge_points.json b/math_knowledge_points.json new file mode 100644 index 0000000..afcb043 --- /dev/null +++ b/math_knowledge_points.json @@ -0,0 +1,238 @@ +{ + "章节信息": { + "章": "第1-5章 人教版高中数学必修一", + "节": "1.1-5.7节", + "小节": "全册小节", + "页码范围": "2-261" + }, + "knowledge_list": [ + { + "编号": "K1-1-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "集合的概念", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合", + "关键要素": [ + "元素", + "总体", + "确定性", + "互异性", + "无序性" + ], + "符号表示": "a∈A, a∉A" + } + }, + { + "编号": "K1-1-1-02", + "层次": "三级", + "名称": "列举法", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法", + "关键要素": [ + "元素列举", + "花括号", + "完整性" + ], + "符号表示": "{a, b, c, ...}" + } + }, + { + "编号": "K1-1-1-03", + "层次": "三级", + "名称": "描述法", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "用集合所含元素的共同特征表示集合的方法", + "关键要素": [ + "共同特征", + "条件描述", + "花括号" + ], + "符号表示": "{x|P(x)}" + } + }, + { + "编号": "K1-2-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "子集", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称A为B的子集", + "关键要素": [ + "包含关系", + "任意元素", + "A中元素都在B中" + ], + "符号表示": "A⊆B" + } + }, + { + "编号": "K3-1-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "函数的概念", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数", + "关键要素": [ + "非空数集", + "对应关系", + "任意性", + "唯一性" + ], + "符号表示": "f：A→B, y=f(x)" + } + }, + { + "编号": "K3-1-1-02", + "层次": "三级", + "名称": "函数的定义域", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "自变量x的取值范围", + "关键要素": [ + "自变量", + "取值范围", + "使函数有意义" + ], + "符号表示": "x∈A" + } + }, + { + "编号": "K3-2-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "函数的单调性", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。如果对于区间D上任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁f(x₂)，那么称函数f(x)在区间D上是减函数", + "关键要素": [ + "区间D", + "任意x₁0, a≠1）的函数", + "关键要素": [ + "底数a>0且a≠1", + "指数为变量x", + "指数形式" + ], + "符号表示": "y=a^x（a>0, a≠1）" + } + }, + { + "编号": "K4-3-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "对数的概念", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "如果a^b=N（a>0, a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作log_a N = b", + "关键要素": [ + "a>0且a≠1", + "N>0", + "指数运算的逆运算" + ], + "符号表示": "log_a N = b" + } + }, + { + "编号": "K4-4-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "对数函数", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "形如y=log_a x（a>0, a≠1）的函数", + "关键要素": [ + "底数a>0且a≠1", + "真数为变量x", + "对数形式" + ], + "符号表示": "y=log_a x（a>0, a≠1）" + } + }, + { + "编号": "K2-2-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "基本不等式", + "类型": "公式", + "核心内容": { + "定义": "两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数", + "关键要素": [ + "正数条件", + "算术平均", + "几何平均" + ], + "符号表示": "(a+b)/2 ≥ √ab (a>0, b>0)" + } + }, + { + "编号": "K1-4-1-01", + "层次": "二级", + "名称": "充分条件", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "如果p成立，那么q成立，称p是q的充分条件", + "关键要素": [ + "p⇒q", + "充分性", + "条件关系" + ], + "符号表示": "p⇒q" + } + }, + { + "编号": "K5-4-1-02", + "层次": "三级", + "名称": "周期函数", + "类型": "概念/定义", + "核心内容": { + "定义": "对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期", + "关键要素": [ + "非零常数T", + "f(x+T)=f(x)", + "定义域内所有x" + ], + "符号表示": "f(x+T)=f(x)" + } + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/prompt_knowledge.md b/prompt_knowledge.md new file mode 100644 index 0000000..1add501 --- /dev/null +++ b/prompt_knowledge.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# 角色定位 +你是一位有20年教学经验的高中数学特级教师，精通人教版教材，擅长提炼核心知识点。 + +# 任务描述 +请从以下教材内容中，提取所有的数学知识点（概念、定理、性质、公式），按照规定格式输出。 + +# 提取要求 + +## 1. 知识点识别标准 +提取以下类型的内容： +- **概念/定义类**：有明确"定义"、"叫做"、"称为"等表述 + - 示例："函数的定义域"、"单调性" +- **定理/性质类**：有"定理"、"性质"、"法则"等标识 + - 示例："余弦定理"、"函数单调性的性质" +- **公式类**：有数学公式表达式 + - 示例："二次函数的标准形式"、"排列数公式" + +## 2. 不提取的内容 +- ❌ 例题（留待后续专门提取） +- ❌ 练习题 +- ❌ 背景介绍和历史故事 +- ❌ 图片和图表（仅描述其内容） + +## 3. 输出格式 +需要层级，但只要列举知识点的名称，不需要其他任何解释 + +## 4. 标注注意事项 +- 层次判断： + - 二级：模块级别（如"函数的概念"） + - 三级：具体概念（如"定义域"） +- 重要程度： + - 核心：高考必考，反复出现 + - 重要：常考，有一定难度 + - 基础：基础概念，辅助理解 + +# 重要提示 +- 准确性优先于完整性：不确定的不要强行填写 +- 保持客观，基于教材原文，不要添加教材没有的内容 \ No newline at end of file diff --git a/prompt_method.md b/prompt_method.md new file mode 100644 index 0000000..b8ae140 --- /dev/null +++ b/prompt_method.md @@ -0,0 +1,33 @@ + +### 4.3 Method提取Prompt + +```markdown +# 角色定位 +你是一位高中数学解题专家，擅长总结和归纳解题方法。 + +# 任务描述 +请从以下教材内容中，提取所有的解题方法、计算技巧、证明方法，按照规定格式输出。 + +# 提取要求 + +## 1. 方法识别标准 +提取以下内容： +- **解题方法**：例题中体现的系统性解题步骤 + - 示例："定义域求解法"、"函数值代入法" +- **计算技巧**：特定的计算技巧或技巧 + - 示例："配方法"、"换元法" +- **证明方法**：证明定理或性质的方法 + - 示例："定义法证明单调性" + +## 2. 不提取的内容 +- ❌ 过于具体的一题一法（如"例2第(1)问的做法"） +- ❌ 通用到所有科目的方法（如"认真审题"） +- ❌ 没有明确步骤的模糊方法 + +## 3. 输出格式 + +只要简单的方法名称列举，不需要解释。不需要写重要性。 + +# 重要提示 +- 方法要有普适性，能用于同类型的多道题 +- 步骤要具体可操作，不要太抽象