# 第二章 ## 一元二次函数、方程和不等式 相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题。在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程（组）、不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现。 本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法。 [图片描述: 金黄的油菜花田，前景是广阔的盛开油菜花，中景是几栋带有白色墙壁和深色屋顶的传统民居，远处天空微蓝。||] # 2.1 等式性质与不等式性质 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 **问题1** 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1) 某路段限速 40 km/h; (2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 $f$ 应不少于 $2.5\%$，蛋白质的含量 $p$ 应不少于 $2.3\%$; (3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 $v$ km/h，“限速40km/h”就是 $v$ 的大小不能超过40，于是 $0 < v \le 40$. 对于(2)，由题意，得 $$ \begin{cases} f \ge 2.5\%, \\ p \ge 2.3\%. \end{cases} $$ 对于(3)，设 $\triangle ABC$ 的三条边为 $a, b, c$，则 $a+b>c, a-b **?** > **①你能写出其他的可能情况吗?** 对于(4)，如图2.1-1，设 $C$ 是直线 $AB$ 外的任意一点，$CD$ 垂直于 $AB$，垂足为 $D$， $E$ 是直线 $AB$ 上不同于 $D$ 的任意一点，则 $CD 不低于20万元? 设提价后每本杂志的定价为 $x$ 元,则销售总收入为 $(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x$ 万元.于是, 不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 $$(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x \ge 20 \quad \text{①}$$ 求出不等式①的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围. 如何解不等式①呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质,为此,我们需要先研究不等式的性质. 实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质,那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图2.1-2,设 $a,b$ 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 $A,B$.那么,当点 $A$ 在点 $B$ 的左边时, $ab$. [图片描述:一条数轴,左侧A点对应a,右侧B点对应b,下方标注ab|数轴上实数大小的表示|图2.1-2] 关于实数 $a,b$ 大小的比较,有以下基本事实: 如果**$a-b$ 是正数**,那么**$a>b$**;如果**$a-b$ 等于0**,那么**$a=b$**;如果**$a-b$ 是负数**,那么**$ab \Leftrightarrow a-b>0;$$ $$a=b \Leftrightarrow a-b=0;$$ $$a0,$$
0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.
38 第二章 一元二次函数、方程和不等式 所以 $$(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).$$ 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于 $0$ 的数（式）。这是解决不等式问题的常用方法。 ## 探究 图 2.1-3 是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ [图片描述:这是一个以红色系渐变色块组成的风车状图案，由四个旋转的正方形组成，中间有一个白色的小正方形|国际数学家大会会标|图2.1-3] 将图 2.1-3 中的“风车”抽象成图 2.1-4。在正方形 $ABCD$ 中有 $4$ 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为 $a$，$b$（$a \neq b$），那么正方形的边长为 $\sqrt{a^2+b^2}$。这样，$4$ 个直角三角形的面积和为 $2ab$，正方形的面积为 $a^2+b^2$。由于正方形 $ABCD$ 的面积大于 $4$ 个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 $$a^2+b^2>2ab.$$ [图片描述:一个正方形ABCD，其四个角被四个全等的直角三角形截去，中间形成一个较小的正方形EFGH。直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为$\sqrt{a^2+b^2}$|风车图案的几何抽象|图2.1-4] 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 $a=b$ 时，正方形 $EFGH$ 缩为一个点，这时有 $$a^2+b^2=2ab.$$ 于是就有 $a^2+b^2 \ge 2ab$。 一般地，$\forall a, b \in \mathbf{R}$，有 $$a^2+b^2 \ge 2ab,$$ 当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 事实上，利用完全平方公式，得 $$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$$ 因为 $\forall a,b \in \mathbf{R}$，$(a-b)^2 \ge 0$，当且仅当 $a=b$ 时，等号成立，所以 $a^2+b^2-2ab \ge 0$。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 $a^2+b^2 \ge 2ab$，当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 39 ## 练习 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1) 某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ (单位: m) 从地面算起不能超过 $4\text{ m}$; (2) $a$ 与 $b$ 的和是非负实数; (3) 如图, 在一个面积小于 $350\text{ m}^2$ 的矩形场地的中心位置上建造一个仓库, 仓库的四周建成绿地, 仓库的长 $L$ (单位: m) 大于宽 $W$ (单位: m) 的 $4$ 倍. [图片描述: 一个矩形场地，中央有一个矩形表示“仓库”，其四周环绕着“绿地”。图中左侧标有“-5”，底部标有“5”，可能表示尺寸或坐标参考。|仓库及绿地布局示意图|图1(3)] 2. 比较 $(x+3)(x+7)$ 和 $(x+4)(x+6)$ 的大小. 3. 已知 $a>b$, 证明 $a > \frac{a+b}{2} > b$. 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础,那么,不等式到底有哪些性质呢? 因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. > ### ③ 思考 > 请你先梳理等式的基本性质,再观察它们的共性,你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗? 等式有下面的基本性质: 性质 1 如果 $a=b$, 那么 $b=a$; 性质 2 如果 $a=b, b=c$, 那么 $a=c$; 性质 3 如果 $a=b$, 那么 $a \pm c = b \pm c$; 性质 4 如果 $a=b$, 那么 $ac = bc$; 性质 5 如果 $a=b, c \neq 0$, 那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$. 可以发现,性质1,2反映了相等关系自身的特性,性质3,4,5是从运算的角度提出的,反映了等式在运算中保持的不变性. > 运算中的不变性就是性质. > ### 探究 > 类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质,并加以证明吗? 40 第二章 一元二次函数、方程和不等式 类比等式的性质1,2,可以猜想不等式有如下性质: **性质1** 如果$a>b$，那么$bb$. 即 $$a>b \Leftrightarrow bb, b>c$，那么$a>c$. 即 $$a>b, b>c \Rightarrow a>c.$$ 我们来证明性质2: 由两个实数大小关系的基本事实知 $$ \begin{cases} a>b \Rightarrow a-b>0 \\ b>c \Rightarrow b-c>0 \end{cases} $$ $$\Rightarrow (a-b)+(b-c)>0$$ $$\Rightarrow a-c>0 \Rightarrow a>c.$$ 类比等式的性质3~5,可以猜想不等式还有如下性质: **性质3** 如果$a>b$，那么$a+c>b+c$. 这就是说,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向. 如图2.1-5,把数轴上的两个点$A$与$B$同时沿相同方向移动相等的距离,得到另两个点 $A_1$与$B_1$, $A$与$B$和$A_1$与$B_1$的左右位置关系不会改变. 用不等式的语言表示,就是上述性质 3. > 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解。对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？ [图片描述:两条数轴，分别展示了点$A$和$B$以及它们同时平移$c$距离后变为$A_1$和$B_1$的相对位置关系。第一条数轴从左到右依次为$B(b), B_1(b+c), A(a), A_1(a+c)$，箭头指向右，表示向右平移。第二条数轴从左到右依次为$B_1(b+c), B(b), A_1(a+c), A(a)$，箭头指向左，表示向左平移（即$c$为负值）。这两条数轴都说明了平移后点的相对位置关系不变。|不等式性质3的数轴表示|图2.1-5] 由性质3可得, $$a+b>c \Rightarrow a+b+(-b)>c+(-b)$$ $$\Rightarrow a>c-b.$$ 这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. **性质4** 如果$a>b, c>0$，那么$ac>bc$；如果$a>b, c<0$，那么$acb, c>d$，那么$a+c>b+d$. 事实上,由$a>b$ 和性质3,得$a+c>b+c$;由$c>d$ 和性质3,得$b+c>b+d$. 再 第二章 一元二次函数、方程和不等式 41 根据性质2, 即得$a+c>b+d$. 利用性质4和性质2可以推出: **性质6** 如果$a>b>0, c>d>0$, 那么 $ac>bd$. **性质7** 如果$a>b>0$, 那么$a^n>b^n$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$). 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. **例2** 已知 $a>b>0, c<0$, 求证$\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$. **分析:** 要证明$\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$, 因为$c<0$, 所以可以先证明$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. 利用已知$a>b>0$ 和性质 4, 即可证明$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. **证明:** 因为$a>b>0$, 所以 $ab>0, \frac{1}{ab}>0$. 于是 $$ a \cdot \frac{1}{ab} > b \cdot \frac{1}{ab} $$ 即 $$ \frac{1}{b} > \frac{1}{a} $$ 由$c<0$, 得 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$. --- ## 练习 1. 证明不等式性质1, 3, 4, 6. 2. 用不等号“>”或“<”填空: (1)如果$a>b, cb>0, cb>0$, 那么 $\frac{1}{a^2} \_\_\_\_\_ \frac{1}{b^2}$; (4)如果$a>b>c>0$, 那么 $\frac{c}{a} \_\_\_\_\_ \frac{c}{b}$. --- ## 习题 2.1 ### 复习巩固 1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子. 2. 某市生态环境局为增加城市的绿地面积, 提出两个投资方案: 方案A为一次性投资500万元; 方 42 第二章 一元二次函数、方程和不等式 案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元。列出不等式表示“经过$n$年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”。 3. 比较下列各组中两个代数式的大小: (1) $x^2+5x+6$ 与 $2x^2+5x+9$; (2) $(x-3)^2$ 与 $(x-2)(x-4)$; (3) 当 $x>1$ 时，$x^2$ 与 $x^2-x+1$; (4) $x^2+y^2+1$ 与 $2(x+y-1)$. 4. 一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大 2。试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数 (用 $a$ 和 $b$ 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)。 5. 已知 $2b>0$, $c \frac{e}{b-d}$. 8. 下列命题为真命题的是 ( ). (A) 若 $a>b>0$, 则 $ac^2>bc^2$ (B) 若 $a>b>0$, 则 $a^2>b^2$ (C) 若 $aa>0$)，再添加 $m$ 克糖 ($m>0$) (假设全部溶解)，糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立。 ### 拓广探索 11. 已知 $a>b>0$，求证 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$. 12. 火车站有某公司待运的甲种货物1530 t，乙种货物1150 t。现计划用A, B两种型号的货厢共50节运送这批货物。已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢。据此安排A, B两种货厢的节数，共有几种方案? 若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少? 第二章 一元二次函数、方程和不等式 43 ## 2.2 基本不等式 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： $\forall a, b \in \mathbf{R}$，有 $$a^2+b^2 \ge 2ab$$ 当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 特别地，如果 $a>0, b>0$，我们用 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ 分别代替上式中的 $a, b$，可得 $$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \quad (1)$$ 当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。 通常称不等式 (1) 为**基本不等式** (basic inequality)，其中，$\frac{a+b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上面通过考察 $a^2+b^2 \ge 2ab$ 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。 要证 $$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \quad \text{①}$$ 只要证 $$2\sqrt{ab} \le a+b \quad \text{②}$$ 要证②，只要证 $$2\sqrt{ab} - a - b \le 0 \quad \text{③}$$ 要证③，只要证 $$-(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \le 0 \quad \text{④}$$ 要证④，只要证 $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 \quad \text{⑤}$$ 显然，⑤成立，当且仅当 $a=b$ 时，⑤中的等号成立。 44 第二章 一元二次函数、方程和不等式 只要把上述过程倒过来,就能直接推出基本不等式了. ## 探究 在图 2.2-1中,$AB$是圆的直径,点$C$是$AB$上一点,$AC=a, BC=b$. 过点$C$作垂直于$AB$的弦$DE$,连接$AD, BD$.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? [图片描述:一个圆，直径为AB。点C在AB上。弦DE垂直于AB，穿过C点。连接了AD和BD。图中标记了点D、E、A、B、C，以及线段AC长度为a，BC长度为b。|几何解释图|图2.2-1] 如图2.2-1,可证$\triangle ACD \sim \triangle DCB$,因而$CD=\sqrt{ab}$. 由于$CD$小于或等于圆的半径,用不等式表示为 $$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$$ 显然,当且仅当点$C$与圆心重合,即当$a=b$时,上述不等式的等号成立. **例1** 已知$x>0$,求$x+\frac{1}{x}$的最小值. **分析:** 求$x+\frac{1}{x}$的最小值,就是要求一个$y_0 (=x_0+\frac{1}{x_0})$,使$\forall x>0$,都有$x+\frac{1}{x} \ge y_0$. 观察$x+\frac{1}{x}$,发现$x \cdot \frac{1}{x}=1$. 联系基本不等式,可以利用正数 $x$ 和$\frac{1}{x}$的算术平均数与几何平均数的关系得到$y_0=2$. **解:** 因为$x>0$,所以 $$x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2,$$ 当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1, x=1$时,等号成立,因此所求的最小值为2. 在本题的解答中,我们不仅明确了$\forall x \ge 0$,有$x+\frac{1}{x} \ge 2$,而且给出了“当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1, x=1$时,等号成立”,这是为了说明2是$x+\frac{1}{x}(x>0)$的一个取值. 想一想,当$y_0<2$时,$x+\frac{1}{x} \ge y_0$成立吗?这时能说$y_0$是$x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值吗? **例2** 已知$x,y$都是正数,求证: (1)如果积$xy$ 等于定值$P$,那么当$x=y$时,和$x+y$有最小值$2\sqrt{P}$; 第二章 一元二次函数、方程和不等式 45 (2) 如果和$x+y$ 等于定值$S$,那么当$x=y$时,积$xy$ 有最大值$\frac{1}{4}S^2$. **证明**: 因为$x, y$ 都是正数,所以 $$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}. $$ (1) 当积 $xy$ 等于定值 $P$ 时, $$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{P}, $$ 所以 $$ x+y \geq 2\sqrt{P}, $$ 当且仅当 $x=y$ 时,上式等号成立.于是,当 $x=y$ 时,和 $x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$. 所以 (2) 当和 $x+y$ 等于定值 $S$ 时, $$ \sqrt{xy} \leq \frac{S}{2}, $$ $$ xy \leq \frac{1}{4}S^2, $$ 当且仅当 $x=y$ 时,上式等号成立.于是,当 $x=y$ 时,积 $xy$ 有最大值 $\frac{1}{4}S^2$. ## 练习 1. 已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 求证 $ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$. 2. 已知$x,y$都是正数,且$x \neq y$,求证: (1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$; (2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$. 3. 当$x$取什么值时,$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值?最小值是多少? 4. 已知$-1 \leq x \leq 1$,求$1-x^2$的最大值. 5. 已知直角三角形的面积等于$50\text{ cm}^2$,当两条直角边的长度各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少? 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具. **例3** (1)用篱笆围一个面积为$100\text{ m}^2$的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2)用一段长为$36\text{ m}$的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园 46 第二章 一元二次函数、方程和不等式 的面积最大? 最大面积是多少? **分析**: (1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积, 于是问题转化为: 矩形的邻边之积为定值, 边长多大时周长最短. (2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍, 于是问题转化为: 矩形的邻边之和为定值, 边长多大时面积最大. **解**: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x$ m, $y$ m, 篱笆的长度为 $2(x+y)$ m. (1) 由已知得 $xy=100$. 由 $$ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}, $$ 可得 $$ x+y \ge 2\sqrt{xy} = 20, $$ 所以 $$ 2(x+y) \ge 40, $$ 当且仅当 $x=y=10$ 时, 上式等号成立. 因此, 当这个矩形菜园是边长为 $10$ m 的正方形时, 所用篱笆最短, 最短篱笆的长度为 $40$ m. (2) 由已知得 $2(x+y)=36$, 矩形菜园的面积为 $xy$ m$^2$. 由 $$ \sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2} = \frac{18}{2} = 9, $$ 可得 $$ xy \le 81, $$ 当且仅当 $x=y=9$ 时, 上式等号成立. 因此, 当这个矩形菜园是边长为 $9$ m 的正方形时, 菜园的面积最大, 最大面积是 $81$ m$^2$. **例4** 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为 $4800$ m$^3$, 深为 $3$ m. 如果池底每平方米的造价为 $150$ 元, 池壁每平方米的造价为 $120$ 元, 那么怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? [图片描述:一个由砖块砌成的长方体无盖水池，内部盛有水。|无盖贮水池示意图|] **分析**: 贮水池呈长方体形, 它的高是 $3$ m, 池底的边长没有确定. 如果池底的边长确定了, 那么水池的总造价也就确定了. 因此, 应当考察池底的边长取什么值时, 水池的总造价最低. **解**: 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 $x$ m, $y$ m, 水池的总造价为 $z$ 元. 根据题意, 有 第二章 一元二次函数、方程和不等式 47 $$ z = 150 \times \frac{4800}{3} + 120(2 \times 3x + 2 \times 3y) \\ = 240000 + 720(x+y). $$ 由容积为 $4800\ \text{m}^3$，可得 $$ 3xy = 4800, $$ 因此 $$ xy = 1600. $$ 所以 $$ z \ge 240000 + 720 \times 2\sqrt{xy}, $$ 当 $x=y=40$ 时，上式等号成立，此时 $z=297600$. 所以，将贮水池的池底设计成边长为 $40\ \text{m}$ 的正方形时总造价最低，最低总造价是 $297600$元. ## 练习 1. 用 $20\ \text{cm}$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 2. 用一段长为 $30\ \text{m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 $18\ \text{m}$. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 3. 做一个体积为 $32\ \text{m}^3$，高为 $2\ \text{m}$ 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 4. 已知一个矩形的周长为 $36\ \text{cm}$，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ ## 习题 2.2 ### 复习巩固 1. (1) 已知 $x>1$, 求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值; (2) 求 $\sqrt{x(10-x)}$ 的最大值. 2. (1) 把 $36$ 写成两个正数的积, 当这两个正数取什么值时, 它们的和最小? (2) 把 $18$ 写成两个正数的和, 当这两个正数取什么值时, 它们的积最大? 3. 某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋, 地面面积为 $48\ \text{m}^2$，房屋正面每平方米的造价为 $1200$元, 房屋侧面每平方米的造价为 $800$元, 屋顶的造价为 $5800$元. 如果墙高为 $3\ \text{m}$, 且不计房屋背面和地面的费用, 那么怎样设计房屋能使总造价最低? 最低总造价是多少? 48 第二章 一元二次函数、方程和不等式 ### 综合运用 4. 已知$x, y, z$都是正数,求证:$(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$. 5. 已知$x>0$,求证:$2-3x-\frac{4}{x}$的最大值是$2-4\sqrt{3}$. 6. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费$y_1$(单位:万元)与仓库到车站的距离$x$(单位:km)成反比,每月库存货物费$y_2$(单位:万元)与$x$成正比;若在距离车站10 km 处建仓库,则$y_1$和$y_2$分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? ### 拓广探索 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,你认为顾客购得的黄金是小于10g,等于10g,还是大于10g?为什么? 8. 设矩形$ABCD$ ($AB>AD$)的周长为24cm,把$\triangle ABC$沿$AC$向$\triangle ADC$折叠,$AB$折过去后交$DC$于点$P$. 设$AB=x$ cm,求$\triangle ADP$的最大面积及相应$x$的值. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 49 ## 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题。 **问题** 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是 24 m，围成的矩形区域的面积要大于 20 m²，则这个矩形的边长为多少米？ [图片描述:一个矩形的花坛，里面种满了紫色的花，花坛由白色栅栏围成，背景是绿草地。|花坛示意图|无图号] 设这个矩形的一条边长为 $x$ m，则另一条边长为 $(12-x)$ m。由题意，得 $$(12-x)x > 20$$ 其中 $x \in \{x | 0 < x < 12\}$。整理得 $$x^2 - 12x + 20 < 0, \quad x \in \{x | 0 < x < 12\} \quad \text{①}$$ 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为**一元二次不等式** (*quadratic inequality with one unknown*)。一元二次不等式的一般形式是 $$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0$$ 其中 $a, b, c$ 均为常数，$a \neq 0$。 --- ❓ **思考** 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ --- 下面，我们先考察一元二次不等式 $x^2 - 12x + 20 < 0$ 与二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 之间的关系。 如图 2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 的图象，图象与 $x$ 轴有两个交点。这两个交点的横坐标就是方程 $x^2 - 12x + 20 = 0$ 的两个实数根 $x_1=2, x_2=10$，因此二次函数 $y = x^2 - 12x + 20$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点是 $(2,0)$ 和 $(10,0)$。 50 第二章 一元二次函数、方程和不等式 一般地，对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们把使 $ax^2+bx+c=0$ 的实数 $x$ 叫做二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点，于是，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点是 $x_1=2, x_2=10$。 从图2.3-1可以看出，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点 $x_1=2, x_2=10$ 将 $x$ 轴分成三段，相应地，当 $x<2$ 或 $x \ge 10$ 时，函数图象位于 $x$ 轴上方，此时 $y \ge 0$，即 $x^2-12x+20>0$；当 $20(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集。因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 $x$ 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 我们知道，对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，设 $\Delta=b^2-4ac$，它的根按照 $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ 可分为三种情况。相应地，二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴的位置关系也分为三种情况，因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集(表2.3-1)。 **表2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系** | 项目 | $\Delta>0$ | $\Delta=0$ | $\Delta<0$ | | :----------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象 | [图片描述:一个开口向上的抛物线与x轴交于两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta>0$ 的图象|图2.3-1_delta_gt_0] | [图片描述:一个开口向上的抛物线与x轴相切于一点 $x_1=x_2$，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta=0$ 的图象|图2.3-1_delta_eq_0] | [图片描述:一个开口向上的抛物线完全位于x轴上方，与x轴无交点，x轴上有原点O|二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 且 $\Delta<0$ 的图象|图2.3-1_delta_lt_0] | | $ax^2+bx+c=0(a>0)$ 的根 | 有两个不相等的实数根 $x_1, x_2 (x_10(a>0)$ 的解集 | $\{x|xx_2\}$ | $\{x|x \ne -\frac{b}{2a}\}$ | $\mathbf{R}$ | | $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集 | $\{x|x_1 **例1** 求不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集. **分析:** 因为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根是函数 $y=x^2-5x+6$ 的零点, 所以先求出 $x^2-5x+6=0$ 的根, 再根据函数图象得到 $x^2-5x+6>0$ 的解集. **解:** 对于方程 $x^2-5x+6=0$, 因为 $\Delta > 0$, 所以它有两个实数根, 解得 $x_1=2$, $x_2=3$. 画出二次函数 $y=x^2-5x+6$ 的图象 (图 2.3-2), 结合图象得不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集为 $\{x|x<2 \text{, 或 } x>3\}$. [图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，与x轴交于点(2,0)和(3,0)。y轴范围从-1到6，x轴范围从-1到4。|y=x²-5x+6的函数图象|图2.3-2] **例2** 求不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集. **解:** 对于方程 $9x^2-6x+1=0$, 因为 $\Delta=0$, 所以它有两个相等的实数根, 解得 $x_1=x_2=\frac{1}{3}$. 画出二次函数 $y=9x^2-6x+1$ 的图象 (图 2.3-3), 结合图象得不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集为 $\{x|x \neq \frac{1}{3}\}$. [图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，与x轴相切于点($\frac{1}{3}$,0)。y轴范围从0到0.6，x轴范围从0到0.6。|y=9x²-6x+1的函数图象|图2.3-3] **例3** 求不等式 $-x^2+2x-3>0$ 的解集. **解:** 不等式可化为 $x^2-2x+3<0$. 因为 $\Delta=-8<0$, 所以方程 $x^2-2x+3=0$ 无实数根. 画出二次函数 $y=x^2-2x+3$ 的图象 (图 2.3-4). [图片描述:一张坐标系中的二次函数图象。图象是一个开口向上的抛物线，完全位于x轴上方，没有与x轴相交。y轴范围从1到10，x轴范围从-2到4。|y=x²-2x+3的函数图象|图2.3-4]

对于二次项系数是负数 (即 $a<0$) 的不等式, 可以先把二次项系数化成正数, 再求解.

结合图象得不等式 $x^2-2x+3<0$ 的解集为 $\emptyset$. 因此, 原不等式的解集为 $\emptyset$. 现在, 你能解决第 2.1 节的“问题 2”了吗? 利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程, 这里, 我们以求解可化成 $ax^2+bx+c>0 (a>0)$ 形式的不等式为例, 用框图表示其求解过程 (图 2.3-5). 52 第二章 一元二次函数、方程和不等式 ```mermaid flowchart TD A["将原不等式化成 $ax^2+bx+c>0$ ($a>0$) 的形式"] B["计算 $\Delta=b^2-4ac$ 的值"] A --> B B -- "> 0" --> C1["方程 $ax^2+bx+c=0$ 有\n两个不相等的实数根,\n解得 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)"] B -- "= 0" --> C2["方程 $ax^2+bx+c=0$ 有\n两个相等的实数根,解\n得 $x_1=x_2=-\frac{b}{2}$"] B -- "< 0" --> C3["方程 $ax^2+bx+c=0$\n没有实数根"] C1 --> D1["原不等式的解集为\n$\{x|xx_2\}$"] C2 --> D2["原不等式的解集为\n$\{x|x \neq -\frac{b}{2}\}$"] C3 --> D3["原不等式的解集为 $\mathbf{R}$"] ``` 图2.3-5 ## 练习 1. 求下列不等式的解集: (1) $(x+2)(x-3)>0$; (2) $3x^2-7x \le 10$; (3) $-x^2+4x-4<0$; (4) $x^2-x+\frac{1}{4}<0$; (5) $-2x^2+x \le -3$; (6) $x^2-3x+4>0$. 2. 当自变量 $x$ 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? (1) $y=3x^2-6x+2$; (2) $y=25-x^2$; (3) $y=x^2+6x+10$; (4) $y=-3x^2+12x-12$. 利用一元二次不等式可以解决一些实际问题,下面看两个例子. **例4** 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 $x$ (单位: 辆)与创造的价值 $y$ (单位: 元)之间有如下的关系: $$y=-20x^2+2200x.$$ 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? **解:** 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 $x$ 辆摩托车,根据题意,得 $$-20x^2+2200x \ge 60000.$$ 移项整理,得 $$x^2-110x+3000<0.$$ 对于方程 $x^2-110x+3000=0$, $\Delta=100>0$, 方程有两个实数根 $x_1=50, x_2=60$. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 53 画出二次函数 $y=x^2-110x+3000$ 的图象(图2.3-6)，结合图象得不等式 $x^2-110x+3000<0$ 的解集为 $\{x|50 39.5 $$ > **提示框** > 刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离。 移项整理，得 $$ v^2+9v-7110>0 $$ 对于方程 $v^2+9v-7110=0$，$\Delta>0$，方程有两个实数根 $$ v_1=\frac{-9-\sqrt{28\,521}}{2}, \quad v_2=\frac{-9+\sqrt{28\,521}}{2} $$ 画出二次函数 $s=v^2+9v-7110$ 的图象 (图2.3-7)，结合图象得不等式的解集为 $\{v|vv_2\}$，从而原不等式的解集为 $$ \{v|vv_2\} $$ [图片描述: 坐标系中绘制的二次函数 $s=v^2+9v-7110$ 的图象，是一个开口向上的抛物线，与横轴交于 $v_1$ 和 $v_2$ 两点。纵轴表示 $s$ 值，横轴表示 $v$ 值，原点 $O$ 位于 $v_1$ 和 $v_2$ 之间。|二次函数图象|图2.3-7] 因为车速 $v \ge 0$，所以 $v>v_2$. 而 $79.9 < v_2 < 80$，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 $80$ km/h. 类似地，第 $2.1$ 节的不等式①经移项整理，得 $2x^2-13x+20\le 0$. 用上述方法解这个不等式，得 $\{x|2.5\le x\le 4\}$. 所以，当每本杂志的定价不低于 $2.5$ 元且不超过 $4$ 元时，提价后的销售总收入不低于 $20$ 万元。 ### 练习 1. $x$ 是什么实数时，$\sqrt{x^2+x-12}$ 有意义? 54 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2. 如图，在长为 $8 \text{ m}$，宽为 $6 \text{ m}$ 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ [图片描述:一个绿色的矩形草坪，四周被粉色的花卉带包围，形成一个更大的矩形。|矩形地面的花卉与草坪分布示意图|第2题] 3. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 $15$ 元。若按最低售价销售，每天能卖出 $30$ 个；若一个削笔器的售价每提高 $1$ 元，日销售量将减少 $2$ 个。为了使这批削笔器每天获得 $400$ 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ ## 习题 2.3 ### 复习巩固 1. 求下列不等式的解集: (1) $13-4x^2>0$; (2) $(x-3)(x-7)<0$; (3) $x^2-3x-10>0$; (4) $-3x^2+5x-4>0$. 2. $x$ 是什么实数时，下列各式有意义? (1) $\sqrt{x^2-4x+9}$; (2) $\sqrt{-2x^2+12x-18}$. ### 综合运用 3. 已知 $M=\{x|4x^2-4x-15>0\}$，$N=\{x|x^2-5x-6>0\}$，求 $M \cap N$, $M \cup N$. 4. 一名同学以初速度 $v_0=12 \text{ m/s}$ 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 $2 \text{ m}$ 以上的位置最多停留多长时间（精确到 $0.01 \text{ s}$）? > 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $h$ 与时间 $t$ 满足关系 $h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$，其中 $g\approx 10 \text{ m/s}^2$。 5. 已知集合 $A = \{x | x^2 - 16<0\}$，$B=\{x | x^2 - 4x +3>0\}$，求 $A \cup B$. ### 拓广探索 6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 $45^\circ$ 方向 $600 \text{ km}$ 处的热带风暴中心正以 $20 \text{ km/h}$ 的速度向正北方向移动，距风暴中心 $450 \text{ km}$ 以内的地区都将受到影响。据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 $0.1 \text{ h}$）? [图片描述:一个平面直角坐标系，原点O表示码头。从原点O向右下方45度方向有一条虚线，沿着虚线有一个点表示热带风暴中心。热带风暴中心向上方（正北方向）移动，其路径由一条实线箭头表示。|热带风暴中心移动示意图|第6题] 第二章 一元二次函数、方程和不等式 55 ## 小结 ### 一、本章知识结构 ```mermaid graph TD A[相等关系] --> B[方程] C[不等关系] --> D[不等式] E[等式的性质] --> B F[不等式的性质] --> D B --> G[一元二次方程] D --> H[一元二次不等式] D --> I[基本不等式] G <--> H G --> J[二次函数] H --> J ``` [图片描述:这是一个展示本章知识结构的流程图，从“相等关系”和“不等关系”出发，分别引出“方程”和“不等式”。“等式的性质”和“不等式的性质”分别与“方程”和“不等式”关联。“方程”引出“一元二次方程”，“不等式”引出“一元二次不等式”和“基本不等式”。“一元二次方程”和“一元二次不等式”之间存在双向联系，并共同引向“二次函数”。|本章知识结构图|图5-6.1] ### 二、回顾与思考 本章我们类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识，与用方程刻画相等关系类似，我们用不等式刻画不等关系，解决不等式问题需要利用不等式的性质，为此，在学习关于实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法。 关于实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础。不等式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，获得关于不等式的内容和研究方法的启发，其中，“运算中的不变性就是性质”指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这使我们注意到，在不等式两边同乘一个数(式)时，所乘数(式)的符号对不等号方向的影响；等等。以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式性质；再运用逻辑推理证明不等式性质，这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯。 同样地，类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简捷方法。 因此，类比是发现的引路人，在今后的学习中我们会经常用到它。 请你带着下面的问题，复习一下本章内容吧！ 56 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1. 举出一些蕴含不等关系的实际例子,并用不等式描述这些不等关系. 2. 你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗? 3. 在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时,你认为应特别注意哪些问题? 4. 两个正数的大小关系是完全确定的,但通过运算就会产生非常奇妙的变化,基本不等式就是其中之一.你还能通过运算(代数变形)得出基本不等式的一些变式吗?通过对变式的研究,你有什么体会? 5. 用基本不等式解决最大值、最小值问题时,你认为应注意哪些问题? 6. 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法,其中函数的图象、零点、图象与$x$轴的关系等是关键要素,你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例,谈谈体会吗? ### 复习参考题 2 **复习巩固** 1. 某夏令营有 48 人,出发前要从 A, B 两种型号的帐篷中选择一种.A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶.若只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 5 人,则有一顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 4 人,则有帐篷多余.设 A 型号的帐篷有 $x$ 顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来. [图片描述: 一张在山坡上搭有三顶露营帐篷的图片，前景是蓝色和红色的帐篷，背景是山和树木。|露营帐篷|图 第1题] 2. 用不等号“>”或“<”填空: (1) 若 $a>b$, 且 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 则 $ab$ \_\_\_\_ $0$; (2) 若 $c>a>b>0$, 则 $\frac{a}{c-a}$ \_\_\_\_ $\frac{b}{c-b}$; (3) 若 $a>b>c>0$, 则 $\frac{a}{b}$ \_\_\_\_ $\frac{a+c}{b+c}$. 3. (1) 在面积为定值 $S$ 的扇形中,半径是多少时扇形的周长最小? (2) 在周长为定值 $P$ 的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大? 4. 求下列不等式的解集: (1) $14-4x^2 \ge x$; (2) $x^2-14x+45 < 0$; (3) $x^2+6x+10 > 0$; (4) $x(x+2) > x(3-x)+1$. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 57 ## 综合运用 5. 若$a, b \ge 0$, 且$ab=a+b+3$, 求$ab$的取值范围. 6. 当$k$取什么值时, 一元二次不等式$2kx^2+kx-\frac{3}{8}<0$对一切实数$x$都成立? 7. 一般认为, 民用住宅的窗户面积必须小于地板面积, 但窗户面积与地板面积的比应不小于10%, 而且这个比值越大, 采光效果越好. (1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m$^2$, 则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积, 公寓的采光效果是变好了还是变坏了? 8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系: 即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题, 请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质, 仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题; 指出所列的对应不等关系的命题是否正确, 并说明理由. | 相等关系 | 不等关系 | 判断正误 | | :------------------------ | :------------------------ | :------- | | 相等关系的命题 | 不等关系的命题 | | | (1)若$x=y$, 则$x^3=y^3$ | (1)若$x>y$, 则$x^3>y^3$ | 正确 | | | | | | | | | ## 拓广探索 9. 如图, 居民小区要建一座八边形的休闲场所, 它的主体造型平面图是由两个相同的矩形$ABCD$和$EFGH$构成的面积为200 m$^2$的十字形地域, 计划在正方形$MNPQ$上建一座花坛, 造价为4200元/m$^2$; 在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪, 造价为210元/m$^2$; 再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪, 造价为80元/m$^2$. 设总造价为$S$(单位: 元), $AD$长为$x$(单位: m). 当$x$为何值时, $S$最小? 并求出这个最小值. [图片描述:一个八边形的休闲场所平面图。该平面图由两个相同的矩形ABCD和EFGH重叠构成一个十字形地域。中央是正方形MNPQ，四周的四个阴影矩形（如AMND）代表花岗岩地坪，四个空白三角形代表草坪。图中清晰标注了所有关键顶点A, B, C, D, E, F, G, H, M, N, P, Q。|八边形休闲场所平面图|(第9题)] 10. 购买同一种物品, 可以用两种不同的策略, 第一种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品的数量一定; 第二种是不考虑物品价格的升降, 每次购买这种物品所花的钱数一定. 哪种购物方式比较经济? 你能把所得结论作一些推广吗? 58 第二章 一元二次函数、方程和不等式