# 第三章 ## 函数的概念与性质 客观世界中有各种各样的运动变化现象,例如,天宫二号在发射过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中,水面高度随时间的变化而不断降低;我国高速铁路营业里程逐年增加……………所有这些都表现为变量间的对应关系,这种关系常常可用函数模型来描述,并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律. 随着学习的深入你会发现,函数是贯穿高中数学的一条主线,是解决数学问题的基本工具;函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.同时,函数知识有广泛的实际应用,并且是学习其他学科的重要基础. 本章我们将在初中的基础上,通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念,通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识,学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法,并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法,在此基础上,学习运用函数理解和处理问题的方法. [图片描述:一艘空间站在蓝色地球上方轨道运行，地球表面可见云层和海洋，空间站的太阳能电池板已展开。|空间站及其轨道示意图|图61-1] # 3.1 函数的概念及其表示 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长 $l$ 与边长 $x$ 的对应关系是 $l=4x$，而且对于每一个确定的 $x$ 都有唯一的 $l$ 与之对应，所以 $l$ 是 $x$ 的函数。这个函数与正比例函数 $y=4x$ 相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断 $y=x$ 与 $y=\frac{x^2}{x}$ 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念。 ## 3.1.1 函数的概念 先分析以下问题。 **问题1** 某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程 $s$ (单位：km) 与运行时间 $t$ (单位：h) 的关系可以表示为 $s=350t$。 [图片描述: 一列白色的“复兴号”高速列车在开阔的黄色油菜花田间疾驰，背景是连绵的绿色山脉和晴朗的蓝天。|高速列车匀速行驶示意图] 这里，$t$ 和 $s$ 是两个变量，而且对于 $t$ 的每一个确定的值，$s$ 都有唯一确定的值与之对应，所以 $s$ 是 $t$ 的函数。 > **思考** > > 有人说：“根据对应关系 $s=350t$，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行 1 h 就前进了 350 km。”你认为这个说法正确吗？ 根据问题1的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到 $t$ 的变化范围。 下面用更精确的语言表示问题1中 $s$ 与 $t$ 的对应关系。 列车行进的路程 $s$ 与运行时间 $t$ 的对应关系是 $$s=350t \quad \text{①}$$ 其中，$t$ 的变化范围是数集 $A_1=\{t|0 **问题 2** 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资$w$(单位：元)是他工作天数$d$的函数吗？ 显然，工资$w$是一周工作天数$d$的函数，其对应关系是 $$w=350d. \quad \text{(2)}$$ 其中，$d$的变化范围是数集$A_2=\{1,2,3,4,5,6\}$，$w$的变化范围是数集$B_2=\{350,700,1050,1400,1750,2100\}$。对于数集$A_2$中的任一个工作天数$d$，按照对应关系(2)，在数集$B_2$中都有唯一确定的工资$w$与它对应。 > 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ **问题 3** 图3.1-1是某市某日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻$t\,h$的空气质量指数(AQI)的值$I$？你认为这里的$I$是$t$的函数吗？ [图片描述:曲线图展示了某市一日内空气质量指数（AQI）随时间的变化。纵轴代表AQI值，从0到150，并根据AQI值划分为优（0-50，绿色区域），良（50-100，黄色区域），轻度污染（100-150，橙色区域）等级。横轴表示时间，可见0点和4点标记。图中有一条紫红色曲线，描绘了AQI值在不同时间点的波动情况。|空气质量指数（AQI）变化图|图3.1-1] 从图3.1-1中的曲线可知，$t$的变化范围是数集$A_3=\{t|0 你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？ **问题 4** 国际上常用恩格尔系数$r(r=\frac{\text{食物支出金额}}{\text{总支出金额}}\times 100\%)$反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国城镇居民恩格尔系数变化情况。 第三章 函数的概念与性质 61 **表3.1-1 我国城镇居民恩格尔系数变化情况** | 年份 $y$ | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | | :------------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 恩格尔系数 $r(\%)$ | 32.0 | 30.1 | 30.0 | 29.7 | 29.3 | 28.6 | 27.7 | 27.6 | 29.2 | 28.6 | 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数$r$是年份$y$的函数吗? 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数? 这里，$y$的取值范围是数集$A_4=\{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021\}$；根据恩格尔系数的定义可知，$r$的取值范围是数集$B_4=\{r|0 💡 **归纳** > > 上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗? 上述问题的共同特征有: (1) 都包含两个非空数集，用$A$，$B$来表示; (2) 都有一个对应关系; (3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集$A$中的任意一个数$x$，按照对应关系，在数集$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应。 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号$f$统一表示对应关系。 一般地，设$A$，$B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f: A\to B$为从集合$A$到集合$B$的一个**函数** (function)，记作 $$y=f(x), x\in A.$$ 其中，$x$叫做**自变量**，$x$的取值范围$A$叫做函数的**定义域** (domain)；与$x$的值相对应的$y$值叫做**函数值**，函数值的集合$\{f(x)|x\in A\}$叫做函数的**值域** (range)。 > 17世纪后期，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19世纪，李善兰首次将 function 翻译成“函数”。 显然，值域是集合$B$的子集。在问题1与问题2中，值域就是$B_1$和$B_2$；在问题3中，值域是数集$B_3$的真子集；在问题4中，值域$C_4=\{0.32,0.301,0.3,0.297,0.293,0.286,0.277,0.276,0.292\}$，是数集$B_4=\{r|0 我们所熟悉的一次函数$y=ax+b(a\neq0)$的定义域是**R**, 值域也是 **R**. 对应关系 $f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到**R**中唯一确定的数 $ax+b(a\neq0)$. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c (a \neq0)$的定义域是**R**, 值域是$B$. 当$a>0$时, $B=\left\{y\left|y \geq \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}\right.$；当$a<0$时, $B=\left\{y\left|y \leq \frac{4ac-b^2}{4a}\right\}\right.$. 对应关系$f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到$B$中唯一确定的数 $ax^2+bx+c(a\neq0)$. ## ❓ 思考 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 的定义域、对应关系和值域各是什么? 请用函数定义描述这个函数. **例1** 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的, 它所反映的两个量之间的对应关系, 可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律, 例如, 正比例函数$y=kx(k\neq0)$ 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等. 试构建一个问题情境, 使其中的变量关系可以用解析式 $y=x(10-x)$来描述. **解**: 把$y=x(10-x)$看成二次函数, 那么它的定义域是 **R**, 值域是$B=\{y|y\leq25\}$. 对应关系 $f$ 把**R**中的任意一个数$x$, 对应到$B$中唯一确定的数$x(10-x)$. 如果对$x$的取值范围作出限制, 例如$x\in\{x|0 2. 某日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）某市的温度走势如图所示。 (1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； (2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度。 [图片描述: 一张显示某市从8时至次日8时温度变化的折线图。横轴表示时间（从8时、11时、1时、17时、次日2时、次日0时、次日0时、次日8时），纵轴表示温度（从-3°C到15°C）。曲线显示温度从8时的3°C上升，在1时达到最高12°C，随后逐渐下降，在次日0时达到最低2°C，之后回升至次日8时的3°C。图中明确标记的温度点有：8时3°C，11时8°C，1时12°C，17时9°C，次日2时7°C，次日0时4°C，次日0时3°C，次日0时2°C，次日8时3°C。|某市温度走势图|第2题] 3. 集合$A, B$与对应关系$f$如下图所示: [图片描述: 一个表示集合A到集合B的对应关系$f$的图。集合A的元素为$\{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合B的元素为$\{1, 2, 3, 4, 5\}$。箭头表示的对应关系如下：$1 \to 1$, $2 \to 2$, $3 \to 3$, $4 \to 5$, $5 \to 4$。|集合A到集合B的对应关系示意图|第3题] $f: A \to B$ 是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式$y=\sqrt{x}$来描述。 --- 研究函数时常会用到区间的概念。 设$a, b$是两个实数，而且$a 无穷大”，“+$\infty$”读作“正无穷大”. 满足 $x \ge a, x > a, x \le b, x < b$ 的实数 $x$ 的集合,可以用区间分别表示为 $[a, +\infty), (a, +\infty), (-\infty, b], (-\infty, b)$. 这些区间的几何表示如表 3.1-3 所示. **表3.1-3** | 区间 | 数轴表示 | | :----------- | :------------------------------------------------------------------------- | | $[a, +\infty)$ | [图片描述:在数轴上，a点为实心圆点，一条带箭头的线从a点向右延伸。|区间$[a, +\infty)$的数轴表示|数轴表示] | | $(a, +\infty)$ | [图片描述:在数轴上，a点为空心圆点，一条带箭头的线从a点向右延伸。|区间$(a, +\infty)$的数轴表示|数轴表示] | | $(-\infty, b]$ | [图片描述:在数轴上，b点为实心圆点，一条带箭头的线从b点向左延伸。|区间$(-\infty, b]$的数轴表示|数轴表示] | | $(-\infty, b)$ | [图片描述:在数轴上，b点为空心圆点，一条带箭头的线从b点向左延伸。|区间$(-\infty, b)$的数轴表示|数轴表示] | **例2** 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x+2}$, (1) 求函数的定义域; (2) 求 $f(-3), f\left(\frac{2}{3}\right)$ 的值; (3) 当 $a \ge 0$ 时,求 $f(a), f(a-1)$ 的值. **分析:** 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 $y=f(x)$,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. > 在函数定义中,我们用符号 $y=f(x)$ 表示函数,其中 $f(x)$ 表示 $x$ 对应的函数值,而不是 $f$ 乘 $x$. **解:** (1) 使根式 $\sqrt{x+3}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \ge -3\}$, 使分式 $\frac{1}{x+2}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \ne -2\}$, 所以,这个函数的定义域是 $\{x \mid x \ge -3\} \cap \{x \mid x \ne -2\} = \{x \mid x \ge -3, \text{且 } x \ne -2\}$, 即 $[-3, -2) \cup (-2, +\infty)$. (2) 将 $-3$ 与 $\frac{2}{3}$ 代入解析式,有 $$f(-3)=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3+2}=-1;$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right)=\sqrt{\frac{2}{3}+3}+\frac{1}{\frac{2}{3}+2}=\sqrt{\frac{11}{3}}+\frac{1}{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{33}}{3}+\frac{3}{8}.$$ (3) 因为 $a \ge 0$, 所以 $f(a), f(a-1)$ 有意义. $$f(a)=\sqrt{a+3}+\frac{1}{a+2};$$ $$f(a-1)=\sqrt{a-1+3}+\frac{1}{a-1+2}=\sqrt{a+2}+\frac{1}{a+1}.$$ 第三章 函数的概念与性质 65 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是$y=350x$，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是 $\mathbf{R}$，而是 $\mathbf{R}$ 的真子集，因此它们与正比例函数$y=350x(x \in \mathbf{R})$也不是同一个函数。 此外，函数$u = t^2$, $t \in (-\infty, +\infty)$, $x = y^2$, $y \in (-\infty,+\infty)$与 $y = x^2$, $x \in (-\infty,+\infty)$，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数。 **例3** 下列函数中哪个与函数$y=x$ 是同一个函数? (1) $y=(\sqrt{x})^2$; (2) $u=\sqrt[3]{v^3}$; (3) $y=\sqrt{x^2}$; (4) $m=\frac{n^2}{n}$. **解:** (1) $y=(\sqrt{x})^2=x(x \in \{x|x \ge 0\})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 (2) $u=\sqrt[3]{v^3}=v(v \in \mathbf{R})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$是同一个函数。 (3) $y=\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} -x, & x<0, \\ x, & x\ge0, \end{cases}$它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$的定义域都是实数集$\mathbf{R}$，但是当$x<0$时，它的对应关系与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 (4) $m=\frac{n^2}{n}=n(n \in \{n|n \ne 0\})$，它与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数$y=x(x \in \mathbf{R})$不是同一个函数。 [图片描述:提示框，背景为浅蓝色，顶部有两个圆点，内文为关于利用信息技术辅助判断函数图象的建议。|信息技术辅助判断提示|图提示] > 也可以利用信息技术 > 画出例3中四个函数的图 > 象，根据图象进行判断。 ### **? 思考** > 至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号 $y=f(x)$，明确了函数的构成要素。比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识? 66 第三章 函数的概念与性质 ## 练习 1. 求下列函数的定义域: (1) $f(x)=\frac{1}{4x+7}$; (2) $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}-1$. 2. 已知函数 $f(x)=3x^2+2x$, (1) 求 $f(2)$, $f(-2)$, $f(2)+f(-2)$ 的值; (2) 求 $f(a)$, $f(-a)$, $f(a)+f(-a)$ 的值. 3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数, 并说明理由: (1) 表示炮弹飞行高度 $h$ 与时间 $t$ 关系的函数 $h=130t-5t^2$ 和二次函数 $y=130x-5x^2$; (2) $f(x)=1$ 和 $g(x)=x^0$. --- ## 3.1.2 函数的表示法 我们在初中已经接触过函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法. 解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题1、2. 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题 4. 图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如3.1.1的问题3. 这三种方法是常用的函数表示法. **例4** 某种笔记本的单价是5元, 买 $x(x \in \{1, 2, 3, 4, 5\})$ 个笔记本需要 $y$ 元.试用函数的三种表示法表示函数 $y=f(x)$. **解**: 这个函数的定义域是数集 $\{1,2,3,4,5\}$. 用解析法可将函数 $y=f(x)$ 表示为 $y=5x, x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. 用列表法可将函数 $y=f(x)$ 表示为 | 笔记本数 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |------------|----|----|----|----|----| | 钱数 $y$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 用图象法可将函数 $y=f(x)$ 表示为图 3.1-2. [图片描述:一个散点图，横轴表示笔记本数 $x$ (从0到5), 纵轴表示钱数 $y$ (从0到25). 图中显示了五个离散点：(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25), 这些点呈线性分布。|笔记本数与钱数关系图|图3.1-2] --- **[Question Box]** 函数图象既可以是光滑的曲线, 也可以是直线、折线、离散的点等. 那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么? 第三章 函数的概念与性质 67
**💡 思考**
(1) 比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
(2) 所有函数都能用解析法表示吗？请你举出实例加以说明。
**例5** 画出函数$y=|x|$的图象。 **解**: 由绝对值的概念，我们有 $$ y = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} $$ 所以，函数$y=|x|$的图象如图 3.1-3 所示。 [图片描述: 函数$y=|x|$的图象，呈V字形，顶点位于原点，对称轴是y轴，向第一、二象限延伸。|函数$y=|x|$的图象|图3.1-3] 像例5中 $y = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$ 这样的函数称为**分段函数**，生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等。 **例6** 给定函数 $f(x)=x+1$, $g(x)=(x+1)^2$, $x \in \mathbf{R}$, (1) 在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$, $g(x)$ 的图象; (2) $\forall x \in \mathbf{R}$, 用 $M(x)$ 表示 $f(x)$, $g(x)$ 中的最大者，记为 $$ M(x)=\max\{f(x), g(x)\}. $$ 例如，当 $x=2$ 时，$M(2)=\max\{f(2), g(2)\}=\max\{3,9\}=9$. 请分别用图象法和解析法表示函数 $M(x)$. **解**: (1) 在同一直角坐标系中画出函数 $f(x)$, $g(x)$ 的图象 (图3.1-4)。 [图片描述: 在同一坐标系中，蓝色直线表示函数$f(x)=x+1$，粉色抛物线表示函数$g(x)=(x+1)^2$，抛物线的顶点在$(-1,0)$，两条曲线在$(-1,0)$和$(0,1)$处相交。|函数$f(x)$和$g(x)$的图象|图3.1-4] (2) 由图3.1-4中函数取值的情况，结合函数 $M(x)$ 的定义，可得函数 $M(x)$ 的图象(图3.1-5)。 [图片描述: 函数$M(x)$的图象，由函数$f(x)=x+1$和$g(x)=(x+1)^2$中取值较大的部分组成。图象在$x<-1$和$x>0$时遵循抛物线$g(x)$，在$-1 \le x \le 0$时遵循直线$f(x)$。|函数$M(x)$的图象|图3.1-5] 由$(x+1)^2=x+1$, 得$x(x+1)=0$. 解得 $x=-1$, 或 $x=0$. 68 第三章 函数的概念与性质 结合图3.1-5,得出函数 $M(x)$ 的解析式为 $$ M(x)= \begin{cases} (x+1)^2, & x \le -1 \\ x+1, & -1 < x \le 0 \\ (x+1)^2, & x > 0 \end{cases} $$ > ? > 你能用其他方法求出 $M(x)$ 的解析式吗? ## 练习 1. 如图,把直截面半径为 $25\text{ cm}$ 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为 $x$ (单位: $\text{cm}$),面积为 $y$ (单位: $\text{cm}^2$),把 $y$ 表示为 $x$ 的函数. [图片描述:一个圆内接矩形，矩形的一条边标为x。一条红线从圆心连接到矩形的一个顶点，中心附近有一个问号。|第1题|图示: 第1题] 2. 画出函数 $y=|x-2|$ 的图象. 3. 给定函数 $f(x)=-x+1, g(x)=(x-1)^2, x \in \mathbb{R}$, (1) 画出函数 $f(x), g(x)$ 的图象; (2) $\forall x \in \mathbb{R}$,用 $m(x)$ 表示 $f(x), g(x)$ 中的最小者,记为 $m(x)=\min\{f(x), g(x)\}$,请分别用图象法和解析法表示函数 $m(x)$. --- 对于一个具体的问题,如果涉及函数,那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系. **例7** 表3.1-4 是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表3.1-4 | 姓名 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | | :--------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | | *测试序号* | | | | | | | | 王伟 | 98 | 87 | 91 | 92 | 88 | 95 | | 张城 | 90 | 76 | 88 | 75 | 86 | 80 | | 赵磊 | 68 | 65 | 73 | 72 | 75 | 82 | | 班级平均分 | 88.2 | 78.3 | 85.4 | 80.3 | 75.7 | 82.6 | 请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析. **解**:从表3.1-4 中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象(均为6个离散的点)表示出来,如图3.1-6,那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况,这对我们的分析很有帮助. 从图3.1-6可以看到,王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动, 第三章 函数的概念与性质 69 而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 [图片描述: 描绘了赵磊、王伟、张城三位同学的数学学习成绩以及班级平均分随时间变化的折线图。横轴表示时间或学习阶段，纵轴表示分数。赵磊的成绩在60-70分之间波动并有上升趋势，班级平均分在80-90分之间波动，王伟和张城的成绩在80-100分之间波动。|学生数学成绩与班级平均分变化图|图3.1-6] > 为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接。 **例8** 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 $$ \text{个税税额} = \text{应纳税所得额} \times \text{税率} - \text{速算扣除数} \quad \text{①} $$ 应纳税所得额的计算公式为 $$ \text{应纳税所得额} = \text{综合所得收入额} - \text{基本减除费用} - \text{专项扣除} - \text{专项附加扣除} - \text{依法确定的其他扣除} \quad \text{②} $$ 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年$60000$元，税率与速算扣除数见表3.1-5。 表3.1-5 | 级数 | 全年应纳税所得额所在区间 | 税率(%) | 速算扣除数 | | :--- | :----------------------- | :------ | :--------- | | 1 | $[0, 36\ 000]$ | 3 | 0 | | 2 | $(36\ 000, 144\ 000]$ | 10 | 2 520 | | 3 | $(144\ 000, 300\ 000]$ | 20 | 16 920 | | 4 | $(300\ 000, 420\ 000]$ | 25 | 31 920 | | 5 | $(420\ 000, 660\ 000]$ | 30 | 52 920 | | 6 | $(660\ 000, 960\ 000]$ | 35 | 85 920 | | 7 | $(960\ 000, +\infty)$ | 45 | 181 920 | > “综合所得”包括工资、薪金、劳务报酬、稿酬、特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。 (1) 设全年应纳税所得额为 $t$，应缴纳个税税额为 $y$，求 $y=f(t)$，并画出图象； (2) 小王全年综合所得收入额为 $117\ 600$ 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 $8\%$, $2\%$, 70 第三章 函数的概念与性质 1%, 9%，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ **分析**:根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额： 1. 根据②计算出应纳税所得额$t$； 2. 由$t$的值并根据表 3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数； 3. 根据①计算出个税税额$y$的值。 由于不同应纳税所得额$t$对应不同的税率与速算扣除数，所以$y$是$t$的分段函数。 **解**：(1) 根据表 3.1-5，可得函数 $y=f(t)$ 的解析式为 $$ y = \begin{cases} 0.03t, & 0 960\,000 \end{cases} \quad \text{③} $$ 函数图象如图3.1-7所示。 [图片描述:一个分段线性函数图，横轴表示应纳税所得额t（单位：元），纵轴表示个税税额y（单位：元）。图中的坐标轴上有多个标记点，横轴上有O，3600，144000，300000，420000，660000，960000，纵轴上有11880，43080，73080，145080，200000等。该图展示了不同应纳税所得额t对应的税额y，通过多个直线段连接形成。|函数y=f(t)的图象|图3.1-7] (2) 根据②，小王全年应纳税所得额为 $$ \begin{aligned} t &= 117\,600 - 60\,000 - 117\,600 \times (8\%+2\%+1\%+9\%) - 9\,600 - 560 \\ &= 0.8 \times 117\,600 - 70\,160 \\ &= 23\,920 \end{aligned} $$ 将$t$的值代入③，得 $$ y = 0.03 \times 23\,920 = 717.6 $$ 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元。 第三章 函数的概念与性质 71 ## 练习 1. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1) 我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; (2) 我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3) 我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进. [图片描述:一个距离-时间图，表示先匀速前进，然后停止一段时间，最后以更快的匀速前进。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G1 (A)|图1.1] [图片描述:一个距离-时间图，表示从家出发后，距离随时间以逐渐增加的速度（加速）变化。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G2|图1.2] [图片描述:一个距离-时间图，表示从家出发后，距离随时间以逐渐减慢的速度（减速）变化。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G3|图1.3] [图片描述:一个距离-时间图，表示先匀速前进，然后匀速返回家中（距离变为0），再匀速离开家。横轴是时间，纵轴是离开家的距离。|距离-时间图 G4 (B)|图1.4] (第1题) 2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1) 5 km 以内 (含 5 km), 票价 2 元; (2) 5 km 以上, 每增加 5 km, 票价增加 1 元 (不足 5 km 的按 5 km 计算). 如果某条线路的总里程为 20 km,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. _**函数解析式:**_ 设里程为 $s$ (km), 票价为 $P$ (元). $$ P(s) = \begin{cases} 2 & (0 < s \le 5) \\ 3 & (5 < s \le 10) \\ 4 & (10 < s \le 15) \\ 5 & (15 < s \le 20) \end{cases} $$ _**函数图象描述:**_ 该函数的图象是一个阶梯函数。在 $s$ 轴上，当 $0 < s \le 5$ 时，函数图象为一条水平线 $P=2$；当 $5 < s \le 10$ 时，函数图象为一条水平线 $P=3$；当 $10 < s \le 15$ 时，函数图象为一条水平线 $P=4$；当 $15 < s \le 20$ 时，函数图象为一条水平线 $P=5$。在每个阶梯的右端点（如 $s=5, 10, 15, 20$），图象是实心的点表示包含该值；在左端点（如 $s=5, 10, 15$ 的左侧），图象是空心点表示不包含该值，然后跳到下一个更高的票价。 ## 习题 3.1 ## 复习巩固 1. 求下列函数的定义域: (1) $f(x)=\frac{3x}{x-4}$; (2) $f(x)=\sqrt{x^2}$; (3) $f(x)=\frac{6}{x^2-3x+2}$; (4) $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$. 2. 下列哪一组中的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同一个函数? (1) $f(x)=x-1$, $g(x)=\frac{x^2}{x}-1$; (2) $f(x)=x^2$, $g(x)=(\sqrt{x})^4$; (3) $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt[3]{x^6}$. 3. 画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域: (1) $y=3x$; (2) $y=\frac{8}{x}$; (3) $y=-4x+5$; (4) $y=x^2-6x+7$. 72 第三章 函数的概念与性质 4. 已知函数 $f(x)=3x^2-5x+2$, 求 $f(-\sqrt{2})$, $f(-a)$, $f(a+3)$, $f(a)+f(3)$ 的值. 5. 已知函数 $f(x) = \frac{x+2}{x-6}$ (1) 点 $(3,14)$ 在 $f(x)$ 的图象上吗? (2) 当 $x=4$ 时, 求 $f(x)$ 的值. (3) 当 $f(x)=2$ 时, 求 $x$ 的值. 6. 若 $f(x)=x^2+bx+c$, 且 $f(1)=0$, $f(3)=0$, 求 $f(-1)$ 的值. 7. 画出下列函数的图象: (1) $f(x)=\begin{cases} 0, & x\le0 \\ 1, & x>0 \end{cases}$; (2) $G(n)=3n+1$, $n \in \{1,2,3\}$. ## 综合运用 8. 如图, 矩形的面积为10. 如果矩形的长为 $x$, 宽为 $y$, 对角线为 $d$, 周长为 $l$, 那么你能获得关于这些量的哪些函数? [图片描述:一个矩形，其长为 $x$，宽为 $y$，对角线为 $d$。|$x, y, d$ 标注的矩形图|图 (第8题)] 9. 一个圆柱形容器的底部直径是 $d$ cm, 高是 $h$ cm. 现在向容器內每秒注入某种溶液 $v$ cm$^3$. 求容器內溶液的高度 $x$ (单位: cm) 关于注入溶液的时间 $t$ (单位: s) 的函数解析式, 并写出函数的定义域和值域. 10. 一个老师用5分制对数学作业评分. 一次作业中, 第一小组同学按座位序号 $1,2,3,4,5,6$ 的次序, 得分依次是 $5,3,4,2,4,5$. 你会怎样表示这次作业的得分情况? 用 $x,y$ 分别表示序号和对应的得分, $y$ 是 $x$ 的函数吗? 如果是, 那么它的定义域、值域和对应关系各是什么? 11. 函数 $r=f(p)$ 的图象如图所示, (1) 函数 $r=f(p)$ 的定义域、值域各是什么? (2) $r$ 取何值时, 只有唯一的 $p$ 值与之对应? [图片描述:一个函数 $r=f(p)$ 的图象。该图象由两部分组成：一部分从 $(-5,2)$ 延伸到 $(0,5)$ 的平滑曲线；另一部分从 $(0,0)$ 开始，标记为 $l$，向右上方延伸并逐渐接近垂直直线 $m$（即 $p=6$）但永不相交。坐标轴标有 $r$ 和 $p$。|$r=f(p)$ 的函数图象|图 (第11题)] > 图中, 曲线 $l$ 与直线 $m$ 无限接近, 但永不相交. 12. 画出定义域为 $\{x|-3\le x\le8, 且 x\ne5\}$, 值域为 $\{y|-1\le y\le2, y\ne0\}$ 的一个函数的图象. (1) 将你的图象和其他同学的相比较, 有什么差别吗? (2) 如果平面直角坐标系中点 $P(x,y)$ 的坐标满足 $-3\le x\le8$, $-1\le y\le2$, 那么其中哪些点不能在图象上? 第三章 函数的概念与性质 73 13. 函数$f(x)=[x]$的函数值表示不超过$x$的最大整数,例如, $[-3.5]=-4$, $[2.1]=2$. 当$x \in (-2.5,3]$时,写出函数$f(x)$的解析式,并画出函数的图象. 14. 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式$y=\frac{1}{2}ax^2(a>0)$来描述. ## 拓广探索 [图片描述:一个蓝色的圆形图标，中间是白色圆点，外围是两个半圆形弧线，代表探索或目标|拓广探索图标|图标] 15. 如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点$P$的距离是2km,从点$P$沿海岸正东12 km 处有一个城镇. (1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h,$t$(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,$x$(单位:km)表示此人将船停在海岸处距点$P$的距离.请将$t$表示为$x$的函数. (2) 如果将船停在距点$P$ 4km处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到0.1h)? [图片描述:一个表示小岛、海岸线和城镇的几何示意图。小岛垂直于海岸线上的点P，距离为2k。从点P沿海岸线向右有一段距离x，船在此处停靠。从停靠点到城镇的剩余海岸线距离为1-x。从P点到城镇的总距离被标记为1k。从小岛到停靠点的直线距离标记为d1。|小岛到城镇示意图|图15.1] (第15题) 16. 给定数集 $A=\mathbf{R}$, $B=(-\infty,0]$,方程 $$ u^2+2v=0 \quad \text{①} $$ (1) 任给$u \in A$,对应关系$f$使方程①的解$v$与$u$对应,判断$v=f(u)$是否为函数; (2) 任给$v \in B$,对应关系$g$使方程①的解$u$与$v$对应,判断$u=g(v)$是否为函数. 17. 探究是否存在函数$f(x)$, $g(x)$满足条件: (1) 定义域相同,值域相同,但对应关系不同; (2) 值域相同,对应关系相同,但定义域不同. 18. 在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率$\pi$准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字,如果记圆周率$\pi$小数点后第$n$位上的数字为$y$,那么你认为$y$是$n$的函数吗? 如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系;如果不是,请说明理由. 74 第三章 函数的概念与性质 ## 💡 阅读与思考 ### 函数概念的发展历程 17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程，这正是函数概念产生和发展的背景。 “function”一词最初由德国数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646—1716）使用。在中国，清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”。 [图片描述:一张旧书页，其中包含中文文字和一些数学符号，显示了《代微积拾级》的内容，是早期数学著作的样貌。|《代微积拾级》|图77-1] 莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，他的学生、瑞士数学家约翰·伯努利（J. Bernoulli, 1667—1748）强调函数要用式子表示，后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以，1755年，瑞士数学家欧拉（L. Euler, 1707—1783）将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。 当时很多数学家对于不用式子表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。函数的概念仍然是比较模糊的。 随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了。德国数学家狄利克雷（P. G. L. Dirichlet, 1805—1859）在1837年时提出：“如果对于$x$的每一个值，$y$总有一个完全确定的值与之对应，那么$y$是$x$的函数。”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个$x$，有一个确定的$y$和它对应就行了，不管这个法则是用解析式还是用图象、表格等形式表示，例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念。 综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。 你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？ 第三章 函数的概念与性质 75 ## 3.2 函数的基本性质 > 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质。 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数 $y=f(x)$ ($x \in A$) 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律，因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法。 我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质。观察图 3.2-1 中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ [图片描述:三幅不同的函数图像，分别展示了增长、波动和具有多个局部极小值的特性。左图为一条通过原点，从第三象限上升至第一象限的曲线，x轴范围约为-6到6，y轴范围约为-100到100；中图为一条在x轴上下波动的曲线，x轴范围约为-2到2，y轴范围约为-6到6，具有一个波峰和一个波谷；右图为一条具有多个谷底的曲线，x轴范围约为-5到5，y轴范围约为-1到6，显示出两个明显的局部最小值。|函数图象示例|图3.2-1] ### 3.2.1 单调性与最大(小)值 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性，下面进一步用符号语言刻画这种性质。 先研究二次函数 $f(x)=x^2$ 的单调性。 画出它的图象（如图 3.2-2），可以看到： 图象在 $y$ 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当 $x \le 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。用符号语言描述，就是任意取 $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$，得到 $f(x_1)=x_1^2$, $f(x_2)=x_2^2$，那么当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1)>f(x_2)$。这时我们就说函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $(-\infty, 0]$ 上是单调递减的。 [图片描述:一张抛物线图像 $y=x^2$，在y轴左侧（即 $x<0$ 的部分），标注了两个点 $x_1$ 和 $x_2$，其中 $x_1$ 在 $x_2$ 的左侧（即 $x_1 < x_2 < 0$）。从 $x_1$ 和 $x_2$ 分别向上画虚线到抛物线，再从交点向y轴画虚线，示意对应的函数值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$。图中清晰显示 $f(x_1)$ 高于 $f(x_2)$，以此说明函数在该区间单调递减。曲线旁边标记为 $f(x^2)$。|二次函数 $f(x)=x^2$ 在负半轴的单调性|图3.2-2] > ? 你能说明为什么 $f(x_1)>f(x_2)$ 吗? 图象在 $y$ 轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当 76 第三章 函数的概念与性质 当$x \ge 0$时, $y$随$x$的增大而增大, 用符号语言表达, 就是任意取 $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$, 得到 $f(x_1)=x_1^2$, $f(x_2)=x_2^2$, 那么当$x_1 < x_2$时, 有 $f(x_1) < f(x_2)$. 这时我们就说函数 $f(x)=x^2$在区间$[0, +\infty)$上是单调递增的. > **?** 你能说明为什么 $f(x_1) < f(x_2)$ 吗? > **? 思考** > > 函数$f(x)=|x|$, $f(x)=-x^2$各有怎样的单调性? 一般地, 设函数$f(x)$的定义域为 $D$, 区间 $I \subseteq D$: 如果$\forall x_1, x_2 \in I$, 当$x_1 < x_2$时, 都有 $f(x_1) < f(x_2)$, 那么就称函数$f(x)$在区间 **$I$上单调递增** (图3.2-3(1)). 特别地, 当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是**增函数** (increasing function). [图片描述: (1) 描绘了函数在区间上单调递增的情况，图中显示x轴、y轴，一条向右上方倾斜的曲线表示函数y=f(x)。当$x_1 < x_2$时，通过虚线指引，对应的函数值$f(x_1)$在$f(x_2)$下方，即$f(x_1) < f(x_2)$。(2) 描绘了函数在区间上单调递减的情况，图中显示x轴、y轴，一条向右下方倾斜的曲线表示函数y=f(x)。当$x_1 < x_2$时，通过虚线指引，对应的函数值$f(x_1)$在$f(x_2)$上方，即$f(x_1) > f(x_2)$。|单调函数示意图|图3.2-3] 如果$\forall x_1, x_2 \in I$, 当$x_1 < x_2$时, 都有 $f(x_1) > f(x_2)$, 那么就称函数$f(x)$在区间 **$I$上单调递减** (图3.2-3(2)). 特别地, 当函数$f(x)$在它的定义域上单调递减时, 我们就称它是**减函数** (decreasing function). 如果函数 $y=f(x)$在区间 $I$上单调递增或单调递减, 那么就说函数$y=f(x)$在这一区间具有 (严格的)**单调性**, 区间$I$叫做$y=f(x)$的**单调区间**. > **? 思考** > > (1) 设$A$是区间$I$上某些自变量的值组成的集合, 而且$\forall x_1, x_2 \in A$, 当$x_1 < x_2$时, 都有$f(x_1) < f(x_2)$, 我们能说函数$f(x)$在区间$I$上单调递增吗? 你能举例说明吗? > (2) 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的, 你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗? 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗? 第三章 函数的概念与性质 77 **例1** 根据定义,研究函数$f(x)=kx+b(k \neq 0)$的单调性. **分析:** 根据函数单调性的定义,需要考察当$x_1f(x_2)$.根据实数大小关系的基本事实,只要考察$f(x_1)-f(x_2)$与$0$的大小关系. **解:** 函数$f(x)=kx+b(k \neq 0)$的定义域是$\mathbf{R}$. $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R}$,且$x_10$时,$k(x_1-x_2)<0$.于是 $f(x_1)-f(x_2)<0,$ 即 $f(x_1)0$.于是 $f(x_1)-f(x_2)>0,$ 即 $f(x_1)>f(x_2).$ 这时,$f(x)=kx+b$是减函数. > 在初中,我们利用函数图象得到了上述结论,这里用严格的推理运算得到了函数$f(x) = kx+b$的单调性. **例2** 物理学中的玻意耳定律$p=\frac{k}{V}$($k$为正常数)告诉我们,对于一定质量的气体,当其温度不变时,体积$V$减小,压强$p$将增大.试对此用函数的单调性证明. **分析:** 根据题意,只要证明函数$p=\frac{k}{V}$($V \in (0, +\infty)$)是减函数即可. **证明:** $\forall V_1, V_2 \in (0, +\infty)$,且$V_10$; 由$V_10$. 又$k>0$,于是 $p_1-p_2>0,$ 即 $p_1>p_2.$ 所以,根据函数单调性的定义,函数$p=\frac{k}{V}$,$V \in (0,+\infty)$是减函数.也就是说,当体积$V$减小时,压强$p$将增大. 78 第三章 函数的概念与性质 例3 根据定义证明函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增. 证明: $\forall x_1, x_2 \in (1, +\infty)$, 且$x_1 < x_2$, 有 $$y_1 - y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right) - \left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) + \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right)$$ $$ = (x_1 - x_2) + \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}(x_1 x_2 - 1).$$ 由$x_1, x_2 \in (1, +\infty)$, 得$x_1 > 1$, $x_2 > 1$. 所以 $$x_1 x_2 > 1, x_1 x_2 - 1 > 0.$$ 又由$x_1 < x_2$, 得$x_1 - x_2 < 0$. 于是 $$\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}(x_1 x_2 - 1) < 0,$$ 即 $$y_1 < y_2.$$ 所以,函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增. ## 练习 1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. [图片描述:一个表示生产效率与工人数关系的曲线图。x轴表示“工人数”，y轴表示“生产效率”。曲线从原点开始上升，达到一个峰值后下降，呈倒U形。|生产效率与工人数关系图|(第1题)] 2. 根据定义证明函数$f(x)=3x+2$是增函数. 3. 证明函数$f(x)=-\frac{2}{x}$在区间$(-\infty,0)$上单调递增. 4. 画出反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象. (1) 这个函数的定义域$D$是什么? (2) 它在定义域$D$上的单调性是怎样的?证明你的结论. > 通过观察图象,先对 > 函数是否具有某种性质做 > 出猜想,然后通过逻辑推 > 理,证明这种猜想的正确 > 性,是研究函数性质的一 > 种常用方法. 再来观察本节的图3.2-2,可以发现,二次函数$f(x)=x^2$的图象上有一个最低点$(0,0)$,即$\forall x \in \mathbf{R}$, 都有$f(x) \ge f(0)$. 当一个函数$f(x)$的图象有最低点时,我们就说函数$f(x)$有最小值. 第三章 函数的概念与性质 79 > **? 思考** > 你能以函数 $f(x)=-x^2$ 为例说明函数 $f(x)$ 的最大值的含义吗？ > > 一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在实数 $M$ 满足： > (1) $\forall x \in D$，都有 $f(x) \le M$； > (2) $\exists x_0 \in D$，使得 $f(x_0)=M$。 > 那么，我们称 $M$ 是函数 $y=f(x)$ 的**最大值** (maximum value)。 > **? 思考** > 你能仿照函数最大值的定义，给出函数 $y=f(x)$ 的**最小值** (minimum value) 的定义吗？ **例 4** “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度 $h$ (单位：m) 与时间 $t$ (单位：s) 之间的关系为 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少 (精确到 1 m)？ [图片描述: 夜空中绽放着三朵五彩斑斓的烟花，有红色、蓝色和黄色，底部有向上冲的烟雾。|璀璨的烟花|图3.2-4.1] **解：** 画出函数 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$ 的图象。 **[旁白]** 烟花设计者就是按照这些数据设定引火线的长度，以达到施放烟花的最佳效果。 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 [图片描述: 描绘了烟花高度与时间关系的二次函数图象。横轴表示时间 $t$ (从0到4)，纵轴表示高度 $h$ (从0到30)，曲线呈抛物线形状，约在 $t=1.5$ 处达到最高点，高度约为29。|烟花高度与时间关系图|图3.2-4] **图 3.2-4** 由二次函数的知识，对于函数 $h(t)=-4.9t^2 +14.7t+18$，我们有： 当 $t=-\frac{14.7}{2 \times (-4.9)}=1.5$ 时，函数有最大值 $h=\frac{4 \times (-4.9) \times 18 - 14.7^2}{4 \times (-4.9)} \approx 29$. 于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m。 80 第三章 函数的概念与性质 **例 5** 已知函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ $(x \in [2, 6])$, 求函数的最大值和最小值. **分析:** 由函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ $(x \in [2, 6])$ 的图象 (图 3.2-5) 可知, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上单调递减. [图片描述:这是一个坐标系中的函数曲线图。横轴表示 $x$ 轴，从 0 到 6。纵轴表示 $y$ 轴，从 0 到 2.5。函数曲线从点 $(2, 2)$ 开始，向右下方弯曲，经过 $(3, 1)$，最终在 $x=6$ 处取值为 $0.4$ (即点 $(6, 0.4)$)。在 $x=2$ 和 $x=6$ 处有虚线垂直于 $x$ 轴，表示函数的定义域。这清楚地展示了函数在该区间内的单调递减趋势。|函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 的图象|图3.2-5] 所以, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 的两个端点上分别取得最大值和最小值. **解:** $\forall x_1, x_2 \in [2, 6]$, 且 $x_10$, $(x_1-1)(x_2-1)>0$, 于是 $$f(x_1)-f(x_2)>0,$$ 即 $$f(x_1)>f(x_2).$$ 所以, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上单调递减. 因此, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$ 在区间 $[2, 6]$ 的两个端点上分别取得最大值与最小值. 在 $x=2$ 时取得最大值, 最大值是 $2$; 在 $x=6$ 时取得最小值, 最小值是 $0.4$. **练习** 1. 整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖, 中午时分(12:00~13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多, 暴风雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山(18:00)才又开始转凉, 画出这一天 8:00~20:00 期间气温作为时间函数的一个可能的图象(示意图), 并说出所画函数的单调区间. 2. 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-6, 11]$. 如果 $f(x)$ 在区间 $[-6, -2]$ 上单调递减, 在区间 $[-2, 11]$ 上单调递增, 画出 $f(x)$ 的一个大致的图象, 从图象上可以发现 $f(-2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个 ______. 3. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}$, 求函数在区间 $[2, 6]$ 上的最大值和最小值. 第三章 函数的概念与性质 81 ## 3.2.2 奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质。下面继续研究函数的其他性质。 画出并观察函数$f(x)=x^2$和$g(x)=2-|x|$的图象(图3.2-6),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? [图片描述:左侧是函数 $f(x)=x^2$ 的图像，它是一个开口向上的抛物线，关于y轴对称，顶点在原点；右侧是函数 $g(x)=2-|x|$ 的图像，它是一个开口向下的V形折线，最高点在(0,2)，同样关于y轴对称。两个图像都显示了x轴从-3到3，y轴从0到5的范围。|函数 $f(x)=x^2$ 和 $g(x)=2-|x|$ 的图像|图3.2-6] 可以发现,这两个函数的图象都关于$y$轴对称。 > **探究** > > 类比函数单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于$y$轴对称”这一特征吗? 不妨取自变量的一些特殊值,观察相应函数值的情况,如表 3.2-1。 **表 3.2-1** | $x$ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | |----------------|-----|----|----|----|---|---|---|---|-----| | $f(x)=x^2$ | ... | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... | | $g(x)=2-|x|$ | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | -1 | ... | 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等。 例如,对于函数$f(x)=x^2$,有 $f(-3)=9=f(3)$; $f(-2)=4=f(2)$; $f(-1)=1=f(1)$. 实际上,$\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$, 这时称函数 $f(x)=x^2$ 为偶函数。 > 请你仿照这个过程, > 说明函数$g(x)=2-|x|$ > 也是偶函数。 82 第三章 函数的概念与性质 一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果 $\forall x \in D$，都有 $-x \in D$，且 $f(-x)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做**偶函数** (even function). 例如，函数 $f(x)=x^2+1$， $g(x)=\frac{2}{x^2+11}$ 都是偶函数，它们的图象分别如图 3.2-7 (1)(2)所示。 [图片描述: (1) 函数 $f(x)=x^2+1$ 的图象，为开口向上的抛物线，关于y轴对称。(2) 函数 $g(x)=\frac{2}{x^2+11}$ 的图象，为钟形曲线，关于y轴对称。|偶函数的图象示例|图 3.2-7] ## 探究 观察函数 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象(图 3.2-8)，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？ [图片描述: (1) 函数 $f(x)=x$ 的图象，为过原点的直线。(2) 函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象，为位于第一、三象限的双曲线，关于原点对称。|关于原点中心对称的函数图象|图 3.2-8] 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形，为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成表 3.2-2. **表 3.2-2** | $x$ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $f(x)=x$ | ... | | | | | | | | ... | | $g(x)=\frac{1}{x}$ | ... | | | | | | | | ... | 可以发现，当自变量 $x$ 取一对相反数时，相应的函数值 $f(x)$ 也是一对相反数。 第三章 函数的概念与性质 83 例如, 对于函数 $f(x)=x$, 有 $f(-3)=-3=-f(3)$; $f(-2)=-2=-f(2)$; $f(-1)=-1=-f(1)$. 实际上, $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(-x)=-x=-f(x)$. 这时称函数 $f(x)=x$ 为奇函数. 一般地, 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 如果 $\forall x \in D$, 都有 $-x \in D$, 且 $f(-x)=-f(x)$, 那么函数 $f(x)$ 就叫做**奇函数** (odd function). > 请你仿照这个过程，说明函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 也是奇函数。 **例6** 判断下列函数的奇偶性: (1) $f(x)=x^4$; (2) $f(x)=x^5$; (3) $f(x)=x+\frac{1}{x}$; (4) $f(x)=\frac{1}{x^2}$. **解:** (1) 函数 $f(x)=x^4$ 的定义域为 $\mathbf{R}$. 因为 $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $-x \in \mathbf{R}$, 且 $f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$, 所以, 函数 $f(x)=x^4$ 为偶函数. (2) 函数 $f(x)=x^5$ 的定义域为 $\mathbf{R}$. 因为 $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有 $-x \in \mathbf{R}$, 且 $f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)$, 所以, 函数 $f(x)=x^5$ 为奇函数. > 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域. (3) 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的定义域为 $\{x|x \neq 0\}$. 因为 $\forall x \in \{x|x \neq 0\}$, 都有 $-x \in \{x|x \neq 0\}$, 且 $f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f(x)$, 所以, 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 为奇函数. (4) 函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 的定义域为 $\{x|x \neq 0\}$. 因为 $\forall x \in \{x|x \neq 0\}$, 都有 $-x \in \{x|x \neq 0\}$, 且 $f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$, 所以, 函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 为偶函数. 84 第三章 函数的概念与性质 ## ? 思考 (1) 判断函数 $f(x)=x^3+x$ 的奇偶性。 (2) 图 3.2-9 是函数 $f(x)=x^3+x$ 图象的一部分，你能根据 $f(x)$ 的奇偶性画出它在 $y$ 轴左边的图象吗？ (3) 一般地，如果知道 $y=f(x)$ 为偶 (奇) 函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ [图片描述: 坐标系中显示函数 $f(x)=x^3+x$ 在 $x>0$ 部分的图象。x轴从-3到3，y轴从-5到5。|函数 $f(x)=x^3+x$ 的部分图象|图3.2-9] ## 练习 1. 已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，试将下图补充完整。 [图片描述: 左侧坐标系中显示函数 $f(x)$ 在 $x>0$ 部分的图象，该图象呈波浪状，起始于原点上方并向右上方延伸。右侧为一个空白坐标系，等待绘制 $g(x)$ 的图象。|函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的补充图|第1题] (第 1 题) 2. 判断下列函数的奇偶性: (1) $f(x)=2x^4+3x^2$; (2) $f(x)=x^3-2x$. 3. (1) 从偶函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴对称； (2) 从奇函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称。 ## 习题 3.2 ## 📚 复习巩固 1. 根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性。 [图片描述: 坐标系中显示一个函数图象，它从 $x=-1$ 处下降到原点，然后上升到 $x \approx 1.5$ 处的一个局部最大值，接着下降到 $x \approx 2.5$ 处的一个局部最小值，再上升。x轴从-1到接近3，y轴从0到7。|函数单调性示意图|第1题] (第 1 题) 第三章 函数的概念与性质 85 2. 画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 $y=f(x)$ 的单调区间及在每一单调区间上的单调性。 (1) $y=x^2-5x-6$; (2) $y=9-x^2$. 3. 证明: (1) 函数 $f(x)=-2x+1$ 是减函数; (2) 函数 $f(x)=x^2+1$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增; (3) 函数 $f(x)=1-\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增. 4. 某汽车租赁公司的月收益 $y$(单位: 元)与每辆车的月租金 $x$(单位: 元)间的关系为 $y=-\frac{x^2}{50} + 162x-21000$，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 5. 判断下列函数的奇偶性: (1) $f(x)=x^2+1$; (2) $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. ## 综合运用 6. 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高。画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象(示意图)。 7. 已知函数 $f(x)=x^2-2x$, $g(x)=x^2-2x(x \in [2,4])$, (1) 求 $f(x)$, $g(x)$ 的单调区间; (2) 求 $f(x)$, $g(x)$ 的最小值. 8. (1) 根据函数单调性的定义证明函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $[3, +\infty)$ 上单调递增. (2) 讨论函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性. (3) 讨论函数 $y=x+\frac{k}{x} (k>0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性. 9. 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I \subseteq D$, 记 $\Delta x=x_1-x_2$, $\Delta y=f(x_1)-f(x_2)$. 证明: (1) 函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增的充要条件是: $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$; (2) 函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减的充要条件是: $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$. 10. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 $30 \text{ m}$，那么宽 $x$(单位: m)为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？ [图片描述: 示意图展示了两间相邻的矩形熊猫居室，它们共用一面墙，并有另外一面靠着一面大墙。图中标注了垂直于大墙的边长为 $x$。|第10题图|第10题] 11. 已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，当 $x \ge 0$ 时，$f(x)=x(1+x)$。画出函数 $f(x)$ 的图象，并求出函数的解析式。 86 第三章 函数的概念与性质 **拓广探索** 12. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数，而且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断。 13. 我们知道，函数 $y=f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x+a)-b$ 为奇函数。 (1) 求函数 $f(x)=x^3-3x^2$ 图象的对称中心； (2) 类比上述推广结论，写出“函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为偶函数”的一个推广结论。 **信息技术应用** ### 用计算机绘制函数图象 利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象，不同的计算机软件绘制函数图象的具体操作不尽相同，但都是基于我们熟悉的描点作图，即给自变量赋值，用计算法则算出相应的函数值，再由这些对应值生成一系列的点，最后连接这些点描绘出函数图象。下面以软件《GeoGebra》为例，介绍用计算机软件绘制函数图象的方法。 一、直接输入函数绘制函数 $y=x^3$ 的图象 打开软件《GeoGebra》，在下方的输入框内直接输入“$y=x^3$”，回车，在代数区就会显示该函数的解析式“$f(x)=x^3$”，而在绘图区就会自动显示相应函数 $y=x^3$ 的图象（如图1）。 [图片描述: GeoGebra软件界面，显示了函数$f(x)=x^3$的图像。图像为一条通过原点的S形曲线，从左下向右上延伸，穿过坐标原点。左侧代数区显示了函数表达式`f(x) = x³`。|GeoGebra绘制函数$y=x^3$的图像|图1] 图1 第三章 函数的概念与性质 87 ## 二、绘制含参数$b$的函数$y=bx^2(b \ne 0)$的图象 (1) 打开软件《GeoGebra》，在输入框内输入参数“b”，回车，创建滑动条$b$，选择$b$的“属性”，依图2提示可自由设置其最小值、最大值、增量等后关闭。 (2) 在输入框內直接输入函数“y=b*x^2”，回车，在绘图区直接显示出当时参数$b$的值对应的函数$y=bx^2$的图象(图2)。 当你左右移动滑动条中点$b$的位置时，函数$y=bx^2$的图象就会“动”起来，如图 2。 [图片描述:GeoGebra软件界面，显示了函数$y=-0.4x^2$的抛物线图象，以及参数$b$的滑动条（$b=-0.4$）。左侧面板列出了绘制的曲线“c: y = -0.4x²”和数字“b = -0.4”。坐标系x轴范围约为-5到5，y轴范围约为-3到4。|GeoGebra函数$y=bx^2$图象演示|图2] 图2 如果有条件，请你绘制函数$y=ax^2+bx+c(a \ne 0)$的图象，并探究系数$a, b, c$对函数图象的影响。 88 第三章 函数的概念与性质 ## 3.3 幂函数 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质。本节我们利用这些知识研究一类新的函数。先看几个实例。 (1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 $w$ kg,那么她需要支付 $p=w$ 元,这里 $p$ 是 $w$ 的函数; (2) 如果正方形的边长为 $a$,那么正方形的面积 $S=a^2$,这里 $S$ 是 $a$ 的函数; (3) 如果立方体的棱长为 $b$,那么立方体的体积 $V=b^3$,这里 $V$ 是 $b$ 的函数; (4) 如果一个正方形场地的面积为 $S$,那么这个正方形的边长 $c=\sqrt{S}$,这里 $c$ 是 $S$ 的函数; (5) 如果某人 $t$ s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度 $v=\frac{1}{t}$ km/s,即 $v=t^{-1}$,这里 $v$ 是 $t$ 的函数. > $\sqrt{S}$ 也可以表示为 $S^{\frac{1}{2}}$. > **⊙ 观察** > > 观察(1)～(5)中的函数解析式,它们有什么共同特征? 实际上,这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量;幂的指数都是常数,分别是 $1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$;它们都是形如 $y=x^\alpha$ 的函数。 一般地,函数 $y=x^\alpha$ 叫做**幂函数** (power function),其中 $x$ 是自变量, $\alpha$ 是常数。 > 幂的指数除了可以取整数之外,还可以取其他实数,当它们取其他实数时幂也具有各自的含义,这些会在后面学习。 对于幂函数,我们只研究 $\alpha=1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$ 时的图象与性质。 > **? 思考** > > 结合以往学习函数的经验,你认为应该如何研究这些函数? 第三章 函数的概念与性质 89 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图像；再利用图像和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题。 在同一坐标系中画出函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图像 (图 3.3-1)。 [图片描述: 包含五条不同颜色函数曲线的坐标系，展示了函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 在同一平面直角坐标系中的图像。其中$y=x$为绿色直线，$y=x^2$为红色抛物线，$y=x^3$为蓝色三次曲线，$y=x^{\frac{1}{2}}$为粉色曲线，$y=x^{-1}$为黑色双曲线|幂函数图像示例|图3.3-1] ### 探究 观察函数图像并结合函数解析式，将你发现的结论写在表 3.3-1 内。 **表 3.3-1** | 项目 | $y=x$ | $y=x^2$ | $y=x^3$ | $y=x^{\frac{1}{2}}$ | $y=x^{-1}$ | | :------- | :---- | :------ | :------ | :------------------ | :--------- | | 定义域 | | | | | | | 值域 | | | | | | | 奇偶性 | | | | | | | 单调性 | | | | | | 这些函数图像有公共点吗？ 通过图 3.3-1 与表 3.3-1，我们得到： (1) 函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图像都通过点 $(1, 1)$； (2) 函数 $y=x$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$ 是奇函数，函数 $y=x^2$ 是偶函数； (3) 在区间 $(0, +\infty)$ 上，函数 $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{2}}$ 单调递增，函数 $y=x^{-1}$ 单调递减； (4) 在第一象限内，函数 $y=x^{-1}$ 的图像向上与 $y$ 轴无限接近，向右与 $x$ 轴无限接近。 **例** 证明幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数。 **证明：** 函数的定义域是 $[0, +\infty)$。 $\forall x_1, x_2 \in [0, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$，有 90 第三章 函数的概念与性质 $$ f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2} \\ =\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} \\ =\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}} $$ 因为 $x_1-x_2<0$, 且 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0$， 所以 $f(x_1) ## 探究与发现 ### 探究函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象与性质 在初中，我们知道 $y=x$ 是正比例函数，$y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数。学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数。不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？ 下面请同学们带着问题探究一下函数 $y=x+\frac{1}{x}$。 1. 你认为可以从哪些方面研究这个函数？ 2. 你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？ 3. 按照你构建的路径研究你想到的问题。 4. 证明：当 $x>0$ 时，$x+\frac{1}{x} \ge 2$，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$，即 $x=1$ 时取得等号；当 $x<0$ 时，$x+\frac{1}{x} \le -2$，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$，即 $x=-1$ 时取得等号。 5. 你画出的函数图象与图1类似吗？ [图片描述:坐标系中绘制了函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图像。图像由两个分支组成，一个位于第一象限，另一个位于第三象限，关于原点对称。图中还绘制了一条虚线 $y=x$，作为图像的斜渐近线。X轴和Y轴的范围大约是-10到10，Y轴范围大约是-8到8，并标注了刻度。|函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图像|图1] 6. 函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象有什么变化趋势？你能利用函数 $y=x$ 和 $y=\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势说明函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势吗？ 7. 通过对函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 图象与性质的探究，你有哪些体会？ 92 第三章 函数的概念与性质 ## 3.4 函数的应用 (一) 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 **例1** 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为$x$ (单位：元)，应缴纳综合所得个税税额为$y$ (单位：元)。 (1) 求$y$关于$x$的函数解析式； (2) 如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ **分析:** 根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额$t$关于综合所得收入额$x$的解析式$t=g(x)$，再结合$y=f(t)$的解析式③，即可得出$y$关于$x$的函数解析式。 **解:** (1) 由个人应纳税所得额计算公式，可得 $$t=x-60\,000-x(8\%+2\%+1\%+9\%)-9\,600-560$$ $$=0.8x-70\,160.$$ 令$t=0$，得$x=87\,700$。 根据个人应纳税所得额的规定可知，当$0 \le x \le 87\,700$时，$t=0$。所以，个人应纳税所得额$t$关于综合所得收入额$x$的函数解析式为 $$t=\begin{cases} 0, & 0 \le x \le 87\,700, \\ 0.8x-70\,160, & x > 87\,700. \end{cases}$$ 结合3.1.2例8的解析式③，可得： 当$0 \le x \le 87\,700$时，$t=0$，所以$y=0$； 当$87\,700 < x \le 132\,700$时，$0 < t \le 36\,000$，所以 $$y=t \times 3\%=0.024x-2\,104.8;$$ 当$132\,700 < x \le 267\,700$时，$36\,000 < t \le 144\,000$，所以 $$y=t \times 10\%-2\,520=0.08x-9\,536;$$ 当$267\,700 < x \le 462\,700$时，$144\,000 < t \le 300\,000$，所以 $$y=t \times 20\%-16\,920=0.16x-30\,952;$$ 当$462\,700 < x \le 612\,700$时，$300\,000 < t \le 420\,000$，所以 $$y=t \times 25\%-31\,920=0.2x-49\,460;$$ 第三章 函数的概念与性质 93 当 $612700 < x \leq 912700$ 时, $420000 < t \leq 660000$, 所以 $y = t \times 30\% - 52920 = 0.24x - 73968$; 当 $912700 < x \leq 1287700$ 时, $660000 < t \leq 960000$, 所以 $y = t \times 35\% - 85920 = 0.28x - 110476$; 当 $x > 1287700$ 时, $t > 960000$, 所以 $y = t \times 45\% - 181920 = 0.36x - 213492$. 所以, 函数解析式为 $$ y=\begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq 87700, \\ 0.024x-2104.8, & 87700 < x \leq 132700, \\ 0.08x-9536, & 132700 < x \leq 267700, \\ 0.16x-30952, & 267700 < x \leq 462700, \\ 0.2x-49460, & 462700 < x \leq 612700, \\ 0.24x-73968, & 612700 < x \leq 912700, \\ 0.28x-110476, & 912700 < x \leq 1287700, \\ 0.36x-213492, & x > 1287700. \end{cases} $$④ (2) 根据④, 当 $x=153600$ 时, $y = 0.08 \times 153600 - 9536 = 2752$. 所以, 小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 $2752$ 元. 根据个人收入情况, 利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式, 就可以直接求得应缴纳的个税. **例2** 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 $v$ (单位: km/h) 与时间 $t$ (单位: h) 的关系如图 3.4-1 所示, (1) 求图 3.4-1 中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 $2004$ km, 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 $s$ (单位: km) 与时间 $t$ 的函数解析式, 并画出相应的图象. [图片描述:横轴表示时间t(h)，纵轴表示平均速率v(km/h)的柱状图。显示了汽车在不同时间段的平均速率：0-1h为50km/h，1-2h为75km/h，2-3h为90km/h，3-4h为70km/h，4-5h为65km/h。|汽车平均速率与时间的关系图|图3.4-1] > 你能根据图 3.4-1 画 > 出汽车行驶路程关于时间 > 变化的图象吗? 94 第三章 函数的概念与性质 **分析**: 当时间 $t$ 在 $[0, 5]$ 内变化时，对于任意的时刻 $t$ 都有唯一确定的行驶路程与之相对应。根据图 3.4-1，在时间段 $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$, $[3, 4)$, $[4, 5]$ 内行驶的平均速率分别为 $50 \text{ km/h}$, $80 \text{ km/h}$, $90 \text{ km/h}$, $75 \text{ km/h}$, $65 \text{ km/h}$。因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。 **解**: (1) 阴影部分的面积为 $50 \times 1 + 80 \times 1 + 90 \times 1 + 75 \times 1 + 65 \times 1 = 360$. 阴影部分的面积表示汽车在这 $5 \text{ h}$ 内行驶的路程为 $360 \text{ km}$。 (2) 根据图 3.4-1，有 $$ s = \begin{cases} 50t+2004, & 0 \le t < 1, \\ 80(t-1)+2054, & 1 \le t < 2, \\ 90(t-2)+2134, & 2 \le t < 3, \\ 75(t-3)+2224, & 3 \le t < 4, \\ 65(t-4)+2299, & 4 \le t \le 5. \end{cases} $$ 这个函数的图象如图 3.4-2 所示。 [图片描述: 一张显示 $s$ 随 $t$ 变化的折线图，横轴表示时间 $t$（单位：小时），从 0 到 5；纵轴表示路程 $s$（单位：公里），从 2000 到 2400。图中有五个线段，连接了五个数据点，表示汽车在不同时间段的行驶路程。|汽车行驶路程与时间的函数图象|图3.4-2] 本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助。因此，我们要注意提高读图能力，另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数。 ## 练习 1. 若用模型 $y=ax^2$ 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 $y$ (单位: m) 与刹车时的速率 $x$ (单位: km/h) 的关系，而某种型号的汽车在速率为 $60 \text{ km/h}$ 时，紧急刹车后滑行的距离为 $20 \text{ m}$。在限速为 $100 \text{ km/h}$ 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 $50 \text{ m}$，那么这辆车是否超速行驶？ 2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为 $l$ (单位: m) 的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 3. 某公司生产某种产品的固定成本为 $150$ 万元，而每件产品的可变成本为 $2500$ 元，每件产品的售价为 $3500$ 元，若该公司所生产的产品全部销售出去，则 (1) 设总成本为 $y_1$ (单位: 万元)，单位成本为 $y_2$ (单位: 万元)，销售总收入为 $y_3$ (单位: 万元)，总利润为 $y_4$ (单位: 万元)，分别求出它们关于总产量 $x$ (单位: 件) 的函数解析式； (2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析。 第三章 函数的概念与性质 95 ### 习题 3.4 ### 综合运用 1. 某人开汽车以$60\text{ km/h}$的速率从$A$地到$150\text{ km}$远处的$B$地, 在$B$地停留$1\text{ h}$后, 再以$50\text{ km/h}$的速率返回$A$地. 把汽车与$A$地的距离$x$(单位: $\text{km}$)表示为时间$t$(单位: $\text{h}$)(从$A$地出发时开始)的函数; 再把车速$v$(单位: $\text{km/h}$)表示为时间$t$的函数, 并分别画出这两个函数的图象. 2. 要建造一个容积为$1200\text{ m}^3$, 深为$6\text{ m}$的长方体无盖蓄水池, 池壁的造价为$95\text{ 元/m}^2$, 池底的造价为$135\text{ 元/m}^2$. 如何设计水池的长与宽, 才能使水池的总造价控制在$7\text{ 万元}$以内(精确到$0.1\text{ m}$)? 3. 为了保护水资源, 提倡节约用水, 某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”. 计费方法如下表: | 每户每月用水量 | 水价 | | :--------------- | :--- | | 不超过$12\text{ m}^3$的部分 | $3\text{ 元/m}^3$ | | 超过$12\text{ m}^3$但不超过$18\text{ m}^3$的部分 | $6\text{ 元/m}^3$ | | 超过$18\text{ m}^3$的部分 | $9\text{ 元/m}^3$ | 若某户居民本月交纳的水费为$48\text{ 元}$, 求此户居民本月用水量. ### 拓广探索 4. 图(1)是某条公共汽车线路收支差额$y$关于乘客量$x$的图象. (1) 试说明图(1)上点$A$, 点$B$以及射线$AB$上的点的实际意义; (2) 由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议, 如图(2)(3)所示. 你能根据图象, 说明这两种建议是什么吗? [图片描述: 坐标系中，y轴负半轴上有点A，x轴正半轴上有点B，一条直线通过A和B，并延伸到第一象限。|公交线路收支差额与乘客量关系图(1)|图4.1] [图片描述: 坐标系中，一条虚线表示原始的收支差额与乘客量关系，一条实线从原点出发，斜率比虚线大，表示新的收支差额与乘客量关系。|公交线路收支差额与乘客量关系图(2)|图4.2] [图片描述: 坐标系中，一条虚线表示原始的收支差额与乘客量关系，一条实线与虚线平行，但整体向上平移，表示新的收支差额与乘客量关系。|公交线路收支差额与乘客量关系图(3)|图4.3] (第4题) 5. 下表是拉力$F$(单位: $\text{N}$)与弹簧伸长长度$x$(单位: $\text{cm}$)的相关数据: | $F$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | | $x$ | 14.2 | 28.8 | 41.3 | 57.5 | 70.2 | 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象, 并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式. 96 第三章 函数的概念与性质 ## 文献阅读与数学写作 * ### 函数的形成与发展 自17世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置。数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学、物理和其他学科中，函数关系随处可见。例如，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，等等。 如果用心搜集、广泛阅读、仔细观察，那么就会在很多书籍、网页中发现有关函数的介绍，也能在生活中发现许多函数应用的实例。 请同学们根据下面的建议和参考选题，通过自主活动，了解函数的发展历程及其广泛应用。 #### 一、目标 1. 了解函数形成、发展的历史。 2. 体验文献综述的写作过程与方法。 #### 二、实施建议 1. 确定选题：根据个人兴趣初步确定选题范围，明确阅读方向，拟定写作题目。 2. 搜集资料：针对写作题目，通过查阅书籍、上网等方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料。 3. 素材整理：认真分析素材，按照一定的主题进行归纳概括，并用文献综述的方式形成读书报告。 4. 交流讨论：开展组内或全班交流、讨论和总结。 #### 三、参考选题 1. 函数产生的社会背景。 2. 函数概念发展的历史过程。 3. 函数符号的故事。 4. 数学家与函数。 众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨和欧拉等，可以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。 可以从以上选题中选择一个，也可以采用自己的题目。 \* 标有 \* 的内容为选学内容，不作为考试要求。 第三章 函数的概念与性质 97 **四、文献综述的结构** 1. **标题。** 2. **提要或前言**：简要介绍研究意义；介绍搜集的资料范围及资料来源，包括查阅了哪些主要著作、查询了哪些网络资料库（如中国学术期刊全文数据库、中国学位论文全文数据库等），搜索到的相关论文的篇目数量等。 3. **正文**：这是文献综述的核心部分，应在归类整理的基础上，对自己搜集到的有用资料进行系统介绍。 4. **参考文献**：列出所有参考文献，并按论文中的参考文献的格式将作者名、文献名、文献页码、文献出处、时间等信息全面标示出来。 98 第三章 函数的概念与性质 # 小结 ## 一、本章知识结构 本章的知识结构图如下所示，展示了函数概念的引入、发展及其应用： ```mermaid graph TD A[函数] B[函数的现实背景] C[函数的概念与表示] D[函数的基本性质] E[幂函数] F[函数的应用] A --> C B --> C C --> D C --> E %% 原始图中D和E下方有一条公共的垂直线连接到F， %% 意在表示理解了基本性质和特殊函数（如幂函数）后， %% 才能更好地进行函数的应用。 D -- 进而支持 --> F E -- 进而支持 --> F ``` [图片描述:这是一个展示函数知识结构的流程图。从核心概念“函数”和其“现实背景”出发，引入“函数的概念与表示”，进而探讨“函数的基本性质”和“幂函数”，最终引导至“函数的应用”。|函数知识结构图|无图号] ## 二、回顾与思考 本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念，与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质：两个数集之间的一种确定的对应关系；明确了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域；引入了函数符号：$y=f(x)$。与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。 函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等，在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。 研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求。例如：事物的变化趋势，用料最省、利润最大、效率最高，对称性等，这些特性反映在函数上，就是函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等。在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观（观察图象）入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，研究某个函数的性质，则要利用单调性、奇偶性等定义，通过推理、运算来实现，这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法。 本章的学习对后面研究有关函数问题具有指导作用，我们可以按照下面的“逻辑图”获得研究内容： 第三章 函数的概念与性质 99 ```mermaid graph TD A[数] -->|类比| B(函数) B -->|推广| C[映射] B -->|联系| D[方程、数列、不等式等] B -->|特殊化| E[例如,一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等] ``` 请你带着下面的问题,复习一下全章内容吧! 1. 通过本章学习,你对函数概念有什么新的认识? 2. 你能结合具体实例,分析、比较函数的各种表示方法的特点吗? 3. 函数的性质一般包括哪些方面?为什么要研究这些性质?你能总结一下研究函数性质的一般过程和方法吗? ## 复习参考题3 ### 复习巩固 1. 求下列函数的定义域: (1) $y=\sqrt{x-2\sqrt{x+5}}$; (2) $y=\frac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$. 2. 已知函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 求: (1) $f(a)+1(a \neq -1)$; (2) $f(a+1)(a \neq -2)$. 3. 设$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$, 求证: (1) $f(-x)=f(x)$; (2) $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)(x \neq 0)$. 4. 已知函数$f(x)=4x^2-kx-8$在$[5, 20]$上具有单调性, 求实数$k$的取值范围. 5. 已知幂函数$y=f(x)$的图象过点$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$, 试求出此函数的解析式, 并画出图象, 判断奇偶性、单调性. 6. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收入$R$(单位: 元)关于月产量$x$(单位: 台)满足函数: $$ R= \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \le x \le 400 \\ 80000, & x > 400 \end{cases} $$ 100 第三章 函数的概念与性质 (1)将利润 $P$(单位: 元) 表示为月产量 $x$ 的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润) ## 综合运用 7. 已知函数 $f(x)= \begin{cases} x(x+4), & x \ge 0 \\ x(x-4), & x < 0 \end{cases}$, 求 $f(1)$, $f(-3)$, $f(a+1)$ 的值. 8. 证明: (1) 若 $f(x)=ax+b$, 则 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$; (2) 若 $g(x)=x^2+ax+b$, 则 $g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \le \frac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$. 9. (1) 已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减? (2) 已知偶函数 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减? 10. 某地区上年度电价为 $0.8$ 元/(kW•h), 年用电量为 $a$ kW•h, 本年度计划将电价下降到 $0.55$ 元/(kW•h) 至 $0.75$ 元/(kW•h) 之间, 而用户期望电价为 $0.4$ 元/(kW•h). 经测算, 下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为 $k$). 该地区的电力成本价为 $0.3$ 元/(kW•h). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益 $y$(单位: 元) 关于实际电价 $x$(单位: 元/(kW•h)) 的函数解析式;(收益=实际电量×(实际电价一成本价)) (2)设 $k=0.2a$, 当电价最低定为多少时, 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20\%$? ## 拓广探索 11. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品价格(自变量), 而用横轴来表示产品数量(因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条表示客户希望的需求曲线? 为什么? [图片描述: 坐标系中，纵轴为单价，横轴为数量。曲线从左下向右上方倾斜，表示单价越高，数量越多。|供应曲线示意图|图11.(1)] [图片描述: 坐标系中，纵轴为单价，横轴为数量。曲线从左上向右下方倾斜，表示单价越高，数量越少。图中有虚线作为辅助线。|需求曲线示意图|图11.(2)] (第11题) 12. 试讨论函数 $y=x-\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、单调性、奇偶性, 并画出函数图象. 第三章 函数的概念与性质 101 13. 如图, $\triangle OAB$ 是边长为 $2$ 的正三角形, 记 $\triangle OAB$ 位于直线 $x=t(t>0)$ 左侧的图形的面积为 $f(t)$. 试求函数 $y=f(t)$ 的解析式, 并画出函数 $y=f(t)$ 的图象. [图片描述: 坐标系中有一个正三角形 $OAB$，其中 $O$ 为原点， $A$ 在 $x$ 轴上。一条垂直于 $x$ 轴的直线 $x=t$ 穿过三角形，直线左侧的三角形区域被阴影标记。该图为第13题的示意图。|第13题示意图|图13-1] 14. 某商场经营一批进价为 $30$ 元/件的商品, 在市场试销中发现, 此商品的销售单价 $x$ (单位: 元) 与日销售量 $y$ (单位: 件) 之间有如下表所示的关系. | $x$ | ... | 30 | 40 | 45 | 50 | ... | | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | | $y$ | ... | 60 | 30 | 15 | 0 | ... | (1) 根据表中提供的数据描出实数对 $(x,y)$ 的对应点, 根据画出的点猜想 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系, 并写出一个函数解析式; (2) 设经营此商品的日销售利润为 $P$ (单位: 元), 根据上述关系, 写出 $P$ 关于 $x$ 的函数解析式, 并求销售单价为多少元时, 才能获得最大日销售利润. 102 第三章 函数的概念与性质